mathe 发表于 2010-2-4 21:16:37

4# gxqcn

显然,楼上语焉不详的椭圆曲线方法无人喝采。但是,可以确认,本题不会有初中数学范围内的巧妙解法。

摈弃椭圆曲线方法,也就是说不把3个式子相乘,那也得把两个式子相乘(乘比线性组合要好,少绕弯 ...
hujunhua 发表于 2010-2-4 17:47 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
呵呵,曲高而和寡,很正常,希望必要介意

zgg___ 发表于 2010-4-2 10:13:07

Re 18层hujunhua
“这个属于著名的椭圆曲线簇En:y^2==x^3-n^2 x。而E6则是该簇中之尤其著名者,盖因其整点较多矣。”

如果修习椭圆曲线用的是Neal Koblitz的GTM97,那么对En的感情将尤其的强烈,因为它和Congruent number的密切联系。
而E6很可能就是第一个学习的对象,因为E6对应于“钩三股四弦五面积六”。呵呵。

其实椭圆曲线是一个数学工具(方法),是一个强大的数学工具(这个问题就可以证明吧),是一个美妙的数学工具(它把许多有意思的东西连在了一起)。这种工具将象求导数、三角函数、复变函数(列举不全呦)那样,慢慢为大家所熟悉,逐渐成为居家旅行杀人灭口的必备良药。

wayne 发表于 2010-4-2 10:35:15

hujunhua 的数论功夫很是了得啊~~

haizhou 发表于 2010-4-8 21:26:29

设{(1+3d=x^2),(1+4d=y^2),(1+6d=z^2):}
4x^2-3y^2=1,4x^2-1=3y^2;
(2x+1)(2x-1)=3y^2;
2x+1=3u^2 2x-1=v^2或2x+1=u^2 2x-1=3v^2;
v^2+2=3u^2或u^2-2=3v^2;
对v^2+2=3u^2设
u=v+r
v^2+2=3(v+r)^2
v^2+2=3v^2+6vr+3r^2

hujunhua 发表于 2010-4-19 09:19:03

hujunhua 的数论功夫很是了得啊~~
wayne 发表于 2010-4-2 10:35 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
业余爱好,不敢托大。何况丢弃良久,积少忘多,惭愧。

郭大的这个题目,按说用mathe提议的递推序列法是可以凑效的,只是这种方法没有一定之规,需要熟练和运气。等有空碰碰运气吧。递推序列法可能需要预备很多引理,过程不会很简明。

manthanein 发表于 2019-1-27 00:32:20

\(y^2=(ax+b)(cx+d)(ex+f)\)
\(y^2=(acx^2+bcx+adx+bd)(ex+f)\)
\(y^2=acex^3+bcex^2+adex^2+bdex+acfx^2+bcfx+afdx+bdf\)
\(y^2=acex^3+(bce+ade+acf)x^2+(bde+bcf+afd)x+bdf\)

manthanein 发表于 2019-1-27 00:44:52

\(y^2=acex^3+(bce+ade+acf)x^2+(bde+bcf+afd)x+bdf\)
\((acey)^2=(acex)^3+(bce+ade+acf)(acex)^2+ace(bde+bcf+afd)(acex)+a^2bc^2de^2f\)
令\(u=acey\),\(v=acex\):
\(u^2=v^3+(bce+ade+acf)v^2+ace(bde+bcf+afd)v+a^2bc^2de^2f\)
\(729u^2=729v^3+729(bce+ade+acf)v^2+729ace(bde+bcf+afd)v+729a^2bc^2de^2f\)
令\(U=27u\),\(V=9v\):
\(U^2=V^3+9(bce+ade+acf)V^2+81ace(bde+bcf+afd)V+729a^2bc^2de^2f\)

manthanein 发表于 2019-1-27 00:55:34

令\(V=X-3(bce+ade+acf)\),
\(V^3=X^3-27(bce+ade+acf)^3+27X(bce+ade+acf)^2-9X^2(bce+ade+acf)\)


\(9(bce+ade+acf)V^2=9(bce+ade+acf)X^2+81(bce+ade+acf)^3-54X(bce+ade+acf)^2\)

manthanein 发表于 2019-1-27 01:00:40

\(V^3+9(bce+ade+acf)V^2\)
\(=X^3+54(bce+ade+acf)^3-27X(bce+ade+acf)^2\)

manthanein 发表于 2019-1-27 01:04:55

\(81ace(bde+bcf+afd)V\)
\(=81ace(bde+bcf+afd)\)
\(=81ace(bde+bcf+afd)X-243ace(bce+ade+acf)\)

\(Y^2=X^3+54(bce+ade+acf)^3-27X(bce+ade+acf)^2+81ace(bde+bcf+afd)X-243ace(bce+ade+acf)+729a^2bc^2de^2f\)
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