abcd=1
本帖最后由 王守恩 于 2018-12-3 20:53 编辑\(1，已知：ab = 1 \ 求证：\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=1\)
\(2，已知：abc = 1 \ 求证：\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=1\)
\(3，已知：abcd = 1 \ 求证：\frac{a}{1+a+ab+abc}+\frac{b}{1+b+bc+bcd}+\frac{c}{1+c+cd+cda}+\frac{d}{1+d+da+dab}=1\)
\(4，已知：abcde = 1\ 求证：\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\)
\(5，已知：......................\)
奇了怪了，这题目怎么就倒不回去了，要不我们限制下面的abcd是正数
\(1，已知：\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=1\ 求证：ab = 1\)
\(2，已知：\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=1\ 求证：abc = 1\)
\(3，已知：\frac{a}{1+a+ab+abc}+\frac{b}{1+b+bc+bcd}+\frac{c}{1+c+cd+cda}+\frac{d}{1+d+da+dab}=1\ 求证：abcd = 1\)
\(4，已知：\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\ 求证：abcde = 1\)
\(5，已知：......................\)
\(6，......................\)
补充内容 (2018-12-15 17:12):
只要我们限制所有的字母：a,b,c,d,....都是正数，结论没有问题，期待有简洁的证明出现！ (*https://bbs.emath.ac.cn/thread-15607-1-1.html*)
b=2;
c=3;
d=5;
(*按照猜想计算出来的a应该是1/(2*3*5)=1/30*)
Solve
Solve
Solve
运算结果
{{a->1/2}}
{{a->1/6},{a->1/6}}
{{a->1/30},{a->1/735 (-437-26 Sqrt)},{a->1/735 (-437+26 Sqrt)}}
{{a -> 0.0333333}, {a -> -1.11204}, {a -> -0.0770786}}
所以你的猜想不成立！ 本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-3 20:29 编辑
其实这个结论很显然的……
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$
为了描述方便，以下下标均理解为mod n意义下的下标，即$x_{t+n}=x_t$
同时注意到$\prod_{x=a}^bx_i=\prod_{x=a+n}^bx_i$，于是我们可以将prod的下标以此式扩展到a>b的场景（这样是合理的）
于是问题变成了：
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$
求证
$$\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x_j}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k}=1$$
在开始计算之前，我们需要先做一系列的探索：
$$\frac{1}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_i}=\frac{\prod_{k=j}^{j+n-1}x_i}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod{k=j+1}^ix_k}$$
注意到分母$\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\sum_{i=j}^{j}\prod_{k=j+1}^ix_k+\sum_{i=j+1}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\prod_{k=j+1}^{j+n}x_k+\sum_{i=j+1}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\sum_{i=j+n}^{j+n}\prod_{k=j+1}^{j+n}x_k+\sum_{i=j+1}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k=\sum_{i=j}^{j+n}\prod_{k=j+1}^ix_k$
分子分母同时约去$x_j$
$$=\frac{\prod_{k=j+1}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+1}^{j+n}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
类似地，分子分母同时约去$x_{j+1}$
$$=\frac{\prod_{k=j+2}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+2}^{j+n+1}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
。。。。。。
一圈约下来之后把结果求和，我们得到
$$=\frac1n\sum_{l=1}^n\frac{\prod_{k=j+l}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+l}^{j+n-1+l}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
做到这一步之后，注意到分母是轮换对称的，而分子总是分母中的某一项，则对
\(\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x_j}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_k}=1\)
应用我们刚刚得到的那个式子，我们可以直接得到结论。
在这里，我们只需要对j求和
$$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\sum_{i=j}^{j+n-1}\prod_{k=j+1}^ix_i}=\frac1n\sum_{j=1}^{n}\sum_{l=1}^n\frac{\prod_{k=j+l}^{j+n-1}x_k}{\sum_{i=j+l}^{j+n-1+l}\prod_{k=j+1}^ix_k}$$
（后面的推理是显然的……然而我已经不会写了……不知道有没有什么更简单的表述方式）
就比如，
\(\frac1{1+a+ab+abc+abcd+abcde}=\frac{abcde}{abcde+a+ab+abc+abcd+abcde}=\frac{bcde}{bcde+1+b+bc+bcd+bcde}=\frac{cde}{cde+cdea+1+c+cd+cde}=\frac{de}{de+dea+deab+1+d+de}=\frac{e}{e+ea+eab+eabc+1+e}\)
这几个式子求一个平均，然后求和
分子分母就可以约掉了
最后的结果显然是1 .·.·. 发表于 2018-12-3 20:16
其实这个结论很显然的……
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$
你太冲动了,你没看我的计算结果吗?推导不出乘积等于1,除非对两个数,三个数这种特殊情况 .·.·. 发表于 2018-12-3 20:16
其实这个结论很显然的……
已知
$$\prod_{i=0}^{n-1}x_i=1$$
我是这样想的，真诚请教。
前半部分，以第4题为例。
\(已知：abcde = 1\ 求证：\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\)
\(\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}\)
\(=\frac{a}{abcde+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{bc}{b+bc+bcd+bcde+bcdea}+\frac{bcd}{bc+bcd+bcde+bcdea+bcdeab}+\frac{bcde}{bcd+bcde+bcdea+bcdeab+bcdeabc}\)
\(=\frac{1}{bcde+1+b+bc+bcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{bc}{b+bc+bcd+bcde+1}+\frac{bcd}{bc+bcd+bcde+1+b}+\frac{bcde}{bcd+bcde+1+b+bc}\)
\(=\frac{1+b+bc+bcd+bcde}{1+b+bc+bcd+bcde}=1\)
后半部分，以第4题为例。
\(已知：\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}=1\ 求证：abcde = 1\)
\(1=\frac{1+b+bc+bcd+bcde}{1+b+bc+bcd+bcde}\)
\(=\frac{1}{bcde+1+b+bc+bcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{bc}{b+bc+bcd+bcde+1}+\frac{bcd}{bc+bcd+bcde+1+b}+\frac{bcde}{bcd+bcde+1+b+bc}\)
\(=\frac{\frac{1}{bcde}}{\frac{bcde+1+b+bc+bcd}{bcde}}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{\frac{b+bc+bcd+bcde+1}{b}}+\frac{d}{\frac{bc+bcd+bcde+1+b}{bc}}+\frac{e}{\frac{bcd+bcde+1+b+bc}{bcd}}\)
\(=\frac{\frac{1}{bcde}}{1+\frac{1}{bcde}+\frac{b}{bcde}+\frac{bc}{bcde}+\frac{bcd}{bcde}}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+\frac{cde}{bcde}}+\frac{d}{1+d+de+\frac{de}{bcde}+\frac{deb}{bcde}}+\frac{e}{1+e+\frac{e}{bcde}+\frac{eb}{bcde}+\frac{ebc}{bcde}}\ \ (1)\)
\(=\frac{a}{1+a+ab+abc+abcd}+\frac{b}{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac{c}{1+c+cd+cde+cdea}+\frac{d}{1+d+de+dea+deab}+\frac{e}{1+e+ea+eab+eabc}\ \ \ \ \ \ (2)\)
\(比较(1),(2)，可知\ \ a=\frac{1}{bcde}\ \ 即：abcde = 1\)
王守恩 发表于 2018-12-4 10:37
我是这样想的，真诚请教。
前半部分，以第4题为例。
\(已知：abcde = 1\ 求证：\frac{a}{1+a+ab+abc+ab ...
后半部分应该是
证明
$$\frac x{1+x+xb+xbc+xbcd}+\frac b{1+b+bc+bcd+bcde}+\frac c{1+c+cd+cde+cdex}+\frac d{1+d+de+dex+dexb}+\frac c{1+e+ex+exb+exbc}=1$$
展开可以发现这是一个四次方程，所以问题可以化成
有四重根或有二重根与两个复数根
或者有两个复数根，另外有一个根使得某个分母为0
或者有三个根使得某个分母为0
感觉后面几种情况都是凑巧才会发生的 只要我们限制所有的字母：a,b,c,d,....都是正数，主帖的结论没有问题，期待有简洁的证明出现！ 王守恩 发表于 2018-12-15 17:14
只要我们限制所有的字母：a,b,c,d,....都是正数，主帖的结论没有问题，期待有简洁的证明出现！
如果把后面那问的分母上的1换成abcde，问题是显然的
因为把abcde...同时乘除某数，等式左边会严格减小/增大（比较分子分母）
而我们可以通过乘除某数使得abcde...=1
所以当abcde...不等于1的时候，左边不可能是1
这就证明了一个简单情况
正在看有没有什么其他思路
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