九宫格
(1)在九宫格里填入1, 2, 3, ..., 9a1 a3 a6
a2 a5 a8
a4 a7 a9
等和约束改为：
a1+a2+a3=15
a4+a5+a6=15
a7+a8+a9=15
a1+a5+a9=15
a2+a4+a7=15
a3+a6+a8=15
问：有几种不同的填法？通过旋转后相同的只算同一种。
(2) 在（1）的基础上增加：
a2+a5+a8=15
a3+a5+a7=15
后呢？
140? 先做(2)。
8个约束中，a1,a4,a6,a9 出现2次，a2,a3,a7,a8 出现3次，a5 出现4次。
而15分解为3个不同的整数之和刚好8组：
15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6
累计1,3,7,9 出现2次，2,4,6,8 出现3次，5 出现4次。
所以必定1,3,7,9在角，2,4,6,8在边，5占中。
在旋转、反射去重的意义下，只有以下唯一解：
1 8 3
6 5 4
7 2 9
再来做(1)
6个约束中1～9每个数各出现2次。
在上述15的八个3分和式，不含5的4个中，1, 3, 7, 9各出现1次，2, 4, 6, 8各出现2次。
所以含5的4个和式中，只能选取1+5+9和3+5+7。故6个约束的和式集是唯一的。
中间数选定后，四角随定（在旋转、反射去重的意义下），四边亦随定，故共有9解。
538
714
629486
321
759495
231
786
273
645
819183
654
729192
564
738243
978
516153
987
426
162
897
435
4×4 方格，填入1, 2, 3, —, 16,
a11a12a13a14
a21a22 a23 a24
a31a32a33 a34
a41 a42a43 a44
等和约束改为：
a11+a22+a33+a44=34
a12+a23+a34+a41=34
a13+a24+a31+a42=34
a14+a21+a32+a43=34
a11+a23+a31+a43=34
a12+a24+a32+a44=34
a13+a21+a33+a41=34
a14+a22+a34+a42=34
a11+a24+a33+a42=34
a12+a21+a34+a43=34
a13+a22+a31+a44=34
a14+a23+a32+a41=34
a11+a32+a13+a34=34
a12+a33+a14+a31=34
a21+a42+a23+a44=34
a22+a43+a24+a41=34
问：有多少种不同的填法？通过旋转后可重合的只算同一种。 王守恩 发表于 2019-12-29 05:46
4×4 方格，填 16 个数(1——16)。
a11，a12，a13，a14
有2点没明白：
1(2)的结果好像不完全满足给定的8个条件 ，
2(1)比(2)少2个约束条件，似乎不可能是唯一解，请给出具体解.
请再审查 dlpg070 发表于 2019-12-29 09:46
有2点没明白：
1(2)的结果好像不完全满足给定的8个条件 ，
2(1)比(2)少2个约束条件，似乎不可能是 ...
(2)的答案有2个，2#中的及其镜像（镜像不去重）。
(1)的答案有18个，2#中的及其镜像（镜像不去重）。 王守恩 发表于 2019-12-29 11:35
(2)的答案有2个，……
(1)在旋转对称不去重的条件下，共 得140解。
https://oeis.org/A006052 n阶幻方全解
https://bbs.emath.ac.cn/thread-1098-1-1.html
四阶幻方全生成问题
https://bbs.emath.ac.cn/thread-224-1-1.html 王守恩 发表于 2019-12-29 05:46
4×4 方格，填入1, 2, 3, …, 16
http://oeis.org/A027567
这种也叫全对称幻方，穷举很快，4×4的计算量很小，5×5的也只要1秒
{{1,8,10,15},{12,13,3,6},{7,2,16,9},{14,11,5,4}}
{{1,8,10,15},{14,11,5,4},{7,2,16,9},{12,13,3,6}}
{{1,8,11,14},{12,13,2,7},{6,3,16,9},{15,10,5,4}}
{{1,8,11,14},{15,10,5,4},{6,3,16,9},{12,13,2,7}}
{{1,8,13,12},{14,11,2,7},{4,5,16,9},{15,10,3,6}}
{{1,8,13,12},{15,10,3,6},{4,5,16,9},{14,11,2,7}}
{{1,12,6,15},{14,7,9,4},{11,2,16,5},{8,13,3,10}}
{{1,12,7,14},{15,6,9,4},{10,3,16,5},{8,13,2,11}}
{{1,12,13,8},{14,7,2,11},{4,9,16,5},{15,6,3,10}}
{{1,12,13,8},{15,6,3,10},{4,9,16,5},{14,7,2,11}}
{{1,14,7,12},{15,4,9,6},{10,5,16,3},{8,11,2,13}}
{{1,14,11,8},{15,4,5,10},{6,9,16,3},{12,7,2,13}}
{{2,7,9,16},{11,14,4,5},{8,1,15,10},{13,12,6,3}}
{{2,7,9,16},{13,12,6,3},{8,1,15,10},{11,14,4,5}}
{{2,7,12,13},{11,14,1,8},{5,4,15,10},{16,9,6,3}}
{{2,7,12,13},{16,9,6,3},{5,4,15,10},{11,14,1,8}}
{{2,7,14,11},{13,12,1,8},{3,6,15,10},{16,9,4,5}}
{{2,7,14,11},{16,9,4,5},{3,6,15,10},{13,12,1,8}}
{{2,11,5,16},{13,8,10,3},{12,1,15,6},{7,14,4,9}}
{{2,11,8,13},{16,5,10,3},{9,4,15,6},{7,14,1,12}}
{{2,11,14,7},{13,8,1,12},{3,10,15,6},{16,5,4,9}}
{{2,11,14,7},{16,5,4,9},{3,10,15,6},{13,8,1,12}}
{{2,13,8,11},{16,3,10,5},{9,6,15,4},{7,12,1,14}}
{{2,13,12,7},{16,3,6,9},{5,10,15,4},{11,8,1,14}}
{{3,6,9,16},{13,12,7,2},{8,1,14,11},{10,15,4,5}}
{{3,6,12,13},{16,9,7,2},{5,4,14,11},{10,15,1,8}}
{{3,6,15,10},{13,12,1,8},{2,7,14,11},{16,9,4,5}}
{{3,6,15,10},{16,9,4,5},{2,7,14,11},{13,12,1,8}}
{{3,10,5,16},{13,8,11,2},{12,1,14,7},{6,15,4,9}}
{{3,10,8,13},{16,5,11,2},{9,4,14,7},{6,15,1,12}}
{{3,10,15,6},{13,8,1,12},{2,11,14,7},{16,5,4,9}}
{{3,10,15,6},{16,5,4,9},{2,11,14,7},{13,8,1,12}}
{{3,13,8,10},{16,2,11,5},{9,7,14,4},{6,12,1,15}}
{{3,13,12,6},{16,2,7,9},{5,11,14,4},{10,8,1,15}}
{{4,5,10,15},{14,11,8,1},{7,2,13,12},{9,16,3,6}}
{{4,5,11,14},{15,10,8,1},{6,3,13,12},{9,16,2,7}}
{{4,5,16,9},{14,11,2,7},{1,8,13,12},{15,10,3,6}}
{{4,5,16,9},{15,10,3,6},{1,8,13,12},{14,11,2,7}}
{{4,9,6,15},{14,7,12,1},{11,2,13,8},{5,16,3,10}}
{{4,9,7,14},{15,6,12,1},{10,3,13,8},{5,16,2,11}}
{{4,9,16,5},{14,7,2,11},{1,12,13,8},{15,6,3,10}}
{{4,9,16,5},{15,6,3,10},{1,12,13,8},{14,7,2,11}}
{{4,14,7,9},{15,1,12,6},{10,8,13,3},{5,11,2,16}}
{{4,14,11,5},{15,1,8,10},{6,12,13,3},{9,7,2,16}}
{{5,4,14,11},{16,9,7,2},{3,6,12,13},{10,15,1,8}}
{{5,4,15,10},{16,9,6,3},{2,7,12,13},{11,14,1,8}}
{{6,3,13,12},{15,10,8,1},{4,5,11,14},{9,16,2,7}}
{{6,3,16,9},{15,10,5,4},{1,8,11,14},{12,13,2,7}}