lsr314 发表于 2020-6-3 15:49
三角形三个角都小于120°的情况下，费马点到三个顶点的距离之和为$L=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2sqrt(3)S)$.
...
为什么我用mathematica算出来的结果表达式很复杂，你的长度之和是怎么推导出来的，你的S又是什么意思？
lsr314 发表于 2020-6-3 15:49
三角形三个角都小于120°的情况下，费马点到三个顶点的距离之和为$L=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2sqrt(3)S)$.
...
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
(*解方程组，三边都是120，根据三边长来表示费马点到三个顶点的距离*)
ans=Solve[{
cs==-1/2&&
cs==-1/2&&
cs==-1/2
},{x,y,z}]
(*求解费马点到三个顶点的距离和，并且化简*)
((x+y+z)/.ans)//FullSimplify
求解结果：
\[\left\{\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)-\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(\left(b^2+c^2\right) \sqrt{3} a^6-2 \sqrt{3} \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) a^4+\left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) \sqrt{3} a^2+2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2-\sqrt{3} b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right)-b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}-c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)},\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)-\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(-\sqrt{3} \left(b^2+c^2\right) a^6+2 \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) \sqrt{3} a^4-\sqrt{3} \left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) a^2-2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2+b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right) \sqrt{3}+b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}+c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)},\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)+\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(\left(b^2+c^2\right) \sqrt{3} a^6-2 \sqrt{3} \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) a^4+\left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) \sqrt{3} a^2-2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2-\sqrt{3} b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right)+b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}+c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)},-\frac{\sqrt{\frac{2 c^6+\left(b^2-5 a^2\right) c^4+\left(4 a^4-3 b^2 a^2+b^4\right) c^2+\left(a^2-b^2\right)^2 \left(-\left(a^2-2 b^2\right)\right)+\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}}{a^4-\left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4-b^2 c^2}} \left(\left(b^2+c^2\right) \sqrt{3} a^6-2 \sqrt{3} \left(b^4+c^2 b^2+c^4\right) a^4+\left(b^6+2 c^2 b^4+2 c^4 b^2+c^6\right) \sqrt{3} a^2-2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)} a^2-\sqrt{3} b^2 c^2 \left(b^4+c^4\right)+b^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}+c^2 \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a+c)^2 (a-b+c) (a+b+c)}\right)}{2 \sqrt{2} (a-b) (a+b) (a-c) (a+c) \left(a^4-2 \left(b^2+c^2\right) a^2+b^4+c^4+b^2 c^2\right)}\right\}\]
结果不是一般的复杂，你的太简单了
本帖最后由 mathematica 于 2020-6-3 16:21 编辑
lsr314 发表于 2020-6-3 15:49
三角形三个角都小于120°的情况下，费马点到三个顶点的距离之和为$L=sqrt((a^2+b^2+c^2)/2+2sqrt(3)S)$.
...
Clear["Global`*"];
(*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
cs:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
(*解方程组，三边都是120，根据三边长来表示费马点到三个顶点的距离*)
ans=Solve[{
cs==-1/2&&
cs==-1/2&&
cs==-1/2
},{x,y,z}]
(*求解费马点到三个顶点的距离和(结果平方以下，更简单！)，并且化简*)
f=((x+y+z)^2/.ans)//FullSimplify
ff=Transpose[{f}]//Grid
\[\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\frac{1}{2} \left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{\sqrt{3} \sqrt{-(a-b)^2 (a+b)^2 (a-c)^2 (a+c)^2 (a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c)}}{2 (a-b) (a+b) (a-c) (a+c)} \\
\end{array}\]
这个是距离和平方后的表达式，看起来还算马虎
@lsr314
我想知道的是你如何推导出来的？
mathematica 发表于 2020-6-3 16:38
@lsr314
我想知道的是你如何推导出来的？
我百度的:)
lsr314 发表于 2020-6-3 16:42
我百度的
我找到回答了，有时候数学思维比mathematica软件更重要，这完全就是一个能手工推导出来的公式
三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?
请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).
https://www.zybang.com/question/096f54e81949f933e3d31a4577013d43.html
lsr314 发表于 2020-6-3 16:42
我百度的
良好的数学概念，比数学软件更重要，
数学软件就是个鸦片，我现在吸鸦片上瘾，
总想着靠计算机来解决问题，
但是计算机不会思考！
不懂得如何去化简。
看来人的思考、mathematica、搜索引擎要结合起来使用！
mathematica 发表于 2020-6-3 16:08
为什么我用mathematica算出来的结果表达式很复杂，你的长度之和是怎么推导出来的，你的S又是什么意思？
Simplify@@@{{x,y,c},{y,z,a},{z,x,b}}==-1/2&&L==x+y+z,{L},{x,y,z}],
16S^2==(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)]//PowerExpand
\(\left\{\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\}\right\}\)
chyanog 发表于 2020-6-3 18:06
\(\left\{\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \fr ...
Solve @@@ {{x, y,
c}, {y, z, a}, {z, x, b}} == -1/2 && L == x + y + z, {L}, {x, y,
z}]
这个里面{L}, {x, y, z}是什么意思？为什么把求解的变量放在两个大括号里面
chyanog 发表于 2020-6-3 18:06
\(\left\{\left\{L\to -\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-4 \sqrt{3} S}}{\sqrt{2}}\right\},\left\{L\to \fr ...
mathematica帮助文件搜索tutorial/EliminatingVariables
然后就是了，可以用solve消除变量