小狗过河
看有没有简单方法 以河水为参考物，视人以-w（水速）常速移动，于是狗以恒速v向着人的方向移动。设人的初始位置为原点，所在岸线为Y轴，水流方向为正向，狗的初始位置为$(a,0)$,
设 t 时刻人-狗连线的倾角为$\theta$，狗的位置为(x,y). 显然人的位置为$(0, y-x\tan\theta)$, 狗一直向着人移动，所以$\frac{dy}{dt}=-v\sin\theta, \frac{dx}{dt}=-v\cos\theta$
于是$\frac{d(y-x\tan\theta)}{dt}=-w$,得出
于是我们有$x\frac{d\theta}{dt}=w\cos^2\theta$
\(\begin{cases}x\frac{d\theta}{dt}=w\cos^2\theta\\\frac{dx}{dt}=-v\cos\theta\end{cases}\)
第二式除以第一式得出$\frac{w}{v}\frac{dx}{x}=-\frac{d\sin\theta}{1-\sin^2\theta}$
于是得出$x=a(\frac{1-\sin(\theta)}{1+\sin(\theta)})^{\frac{v}{2w}$
题目数据是设计好的，当$x=a/3$时，$\sin\theta=\frac{w}{v}$, 凑巧可得$\sin\theta=1/2$, 所以$w=v/2=1$公里/小时
代回去得$x/a=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$
将$x\frac{d\theta}{dt}=w\cos^2\theta$代入得到$\frac{d\theta}{dt}=\frac{w}{a}(1+\sin\theta)^2$
解得 $\frac{w}{a}t-1/3=\frac{3\sin\frac{\theta}2-\cos\frac{3\theta}{2}}{3(\sin\frac{\theta}2+\cos\frac{\theta}2)^3}$
结束时 $\theta=\frac{pi}2$, 代入得结束时间为$ t_e = \frac{4a}{3v}$, 而静水穿越的时间为$\frac{a}{v}$,得出$\frac{a}{v}$为15分钟，所以河宽0.5公里
^-^ 普通物理中变速运动章节经典考试题。 倪举鹏 发表于 2021-3-30 16:51
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为什么过河时间这样求？
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