manthanein 发表于 2023-9-13 15:56:24

三角形中的两个不等式

之前一个问题，里面得出了三角形中的两个不等式：

\(\D a \geq 2\sqrt{bc}\sin{\frac{A}{2}}\)
\(\D 2\sqrt{bc}\left(1+\sin\frac{A}{2}\right)\leq l\)，\(l\)为三角形周长

虽然可以通过代数变换直接证明，但让我好奇的是，有没有几何证法之类的？

hujunhua 发表于 2023-9-18 09:36:12

带有三角函数却要求几何解法，有点不搭。

lihpb00 发表于 2023-10-29 22:59:44

应该先作角平分线

nyy 发表于 2023-10-30 21:51:46

只要证明出来就行了，何苦非要用几何的办法？

mathe 发表于 2023-11-1 12:52:48


如图可以得到
\(h\le h_{max}=\frac a{2\tan(\frac A2)}\)
于是得到
\(\frac{bc\sin(A)}2 = S=\frac{ah}2 \le \frac {a^2}{4\tan(\frac A2)}\)
即\(a\ge 2\sqrt{bc}\sin(\frac A2)\)
然后再根据\(2\sqrt{bc}\le b+c\)可以得到第二个不等式
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