三角形内点幂和极值问题

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若三角形\(\triangle ABC\)内有一点\(P\),求\(AP^n+BP^n+CP^n\)取最小值的条件？

对于\(n =1,2\)我们已知道了完美的结论，那对于\(n=3,4,5…\)取最小值的条件是什么？

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不妨设\(\alpha=\angle BPC\), \(\beta=\angle APC\),\(\gamma=\angle APB\) 则有

\(S_1=2yz\sin(\alpha)=\sqrt{(2yz)^2-(y^2+z^2-a^2)^2}\)

\(S_2=2xz\sin(\beta)=\sqrt{(2xz)^2-(x^2+z^2-b^2)^2}\)

\(S_3=2xy\sin(\gamma)=\sqrt{(2xy)^2-(y^2+x^2-c^2)^2}\)

则\(S_1+S_2+S_3=4S\)

我们利用拉格朗日乘子法求：\(T_n=x^n+y^n+z^n+\lambda(S_1+S_2+S_3-4S)\)

先对\(x\)求导得

\(nx^{n-1}-\lambda(\frac{2x(z^2-x^2+b^2)}{S_2}+\frac{2x(y^2-x^2+c^2)}{S_3})=0\)  

又

\(\frac{2x(z^2-x^2+b^2)}{S_2}\)

\(=\frac{2x(2z^2-(z^2+x^2-b^2)}{S_2}=\frac{2x(2z^2-2zx\cos(\beta))}{S_2}=\frac{4xz(z-x\cos(\beta))}{S_2}\)

\(=\frac{4xz(z-x\cos(\beta)}{2xz\sin(\beta)}=\frac{2(z-x\cos(\beta))}{\sin(\beta)}\)

同理得到

\(\frac{2x(y^2-x^2+c^2)}{S_3}＝\frac{2(y-x\cos(\gamma))}{\sin(\gamma)}\)

对于下式我们可以继续化简

\(nx^{n-1}-\lambda(\frac{2(z-x\cos(\beta))}{\sin(\beta)}+\frac{2(y-x\cos(\gamma))}{\sin(\gamma)})\)

\(=nx^{n-1}-2\lambda(\frac{(z-x\cos(\beta))\sin(\gamma)+(y-x\cos(\gamma))\sin(\beta)}{\sin(\beta)\sin(\gamma)})\)

\(=nx^{n-1}-2\lambda(\frac{z\sin(\gamma)+y\sin(\beta)-x\sin(\gamma+\beta)}{\sin(\beta)\sin(\gamma)})\)

\(=nx^{n-1}-2\lambda(\frac{z\sin(\gamma)+y\sin(\beta)+x\sin(\alpha)}{\sin(\beta)\sin(\gamma)})=0\)

即   \(z\sin(\gamma)+y\sin(\beta)+x\sin(\alpha)＝\frac{x^{n-1}}{\sin(\alpha)}\frac{n\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}{2\lambda}\)

同理 \(z\sin(\gamma)+y\sin(\beta)+x\sin(\alpha)＝\frac{y^{n-1}}{\sin(\beta)}\frac{n\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}{2\lambda}\)

     \(z\sin(\gamma)+y\sin(\beta)+x\sin(\alpha)＝\frac{z^{n-1}}{\sin(\gamma)}\frac{n\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}{2\lambda}\)

对比易知\(\frac{x^{n-1}}{\sin(\alpha)}＝\frac{y^{n-1}}{\sin(\beta)}＝\frac{z^{n-1}}{\sin(\gamma)}\)

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楼上我们已得到取极值的条件为：

\(\frac{x^{n-1}}{\sin(\alpha)}=\frac{y^{n-1}}{\sin(\beta)}=\frac{z^{n-1}}{\sin(\gamma)}\)  （1）

当\(n=1\)时 （1）式可简化为 \(\alpha=\beta=\gamma=\frac{2\pi}{3}\) (费马点条件）



当\(n=2\)时

\(\frac{x}{\sin(\alpha)}=\frac{y}{\sin(\beta)}=\frac{z}{\sin(\gamma)}＝k\)

转化为代数方程

\(x\sqrt{k^2-y^2}+y\sqrt{k^2-x^2}=kz\)

上式有理化得到\(k^2(2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2-x^4-y^4-z^4)=4x^2y^2z^2\)

\((2yz)^2-(y^2+z^2-a^2)^2=(\frac{2xyz}{k})^2=4S_{BPC}\)

\((2xz)^2-(x^2+z^2-b^2)^2=(\frac{2xyz}{k})^2=4S_{APC}\)

\((2xy)^2-(y^2+x^2-c^2)^2=(\frac{2xyz}{k})^2=4S_{APB}\)

可以得到\(S_{APB}=S_{APC}=S_{BPC}=\frac{S}{3}\)

容易算得 \(x=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{3},y=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{3} ,z=\frac{\sqrt{2b^2+2a^2-c^2}}{3}\)

\(k=\frac{3xyz}{2S}=\frac{2\sqrt{(2a^2+2b^2-c^2)(2a^2+2c^2-b^2)(2b^2+2c^2-a^2)}}{9\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}}\)

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对于一般的\(n \geqslant 2\)我们可以将（1）转化为下列代数方程

\(x^{n-1}\sqrt{k^2-y^{2(n-1)}}+y^{n-1}\sqrt{k^2-x^{2(n-1)}}=kz^{n-1}\)

上式有理化得到\(k^2(2x^{2(n-1)}y^{2(n-1)}+2x^{2(n-1)}z^{2(n-1)}+2y^{2(n-1)}z^{2(n-1)}-x^{4(n-1)}-y^{4(n-1)}-z^{4(n-1)})=4x^{2(n-1)}y^{2(n-1)}z^{2(n-1)}\)

\((2yz)^2-(y^2+z^2-a^2)^2=x^{2(n-2)}(\frac{2xyz}{k})^2\)

\((2xz)^2-(x^2+z^2-b^2)^2=y^{2(n-2)}(\frac{2xyz}{k})^2\)

\((2xy)^2-(y^2+x^2-c^2)^2=z^{2(n-2)}(\frac{2xyz}{k})^2\)

下一步就是如何继续简化上面表达式？

葡萄糖

应该是：若三角形\(\triangle ABC\)内有一点P,求\(AP^n+BP^n+CP^n\)取最小值的条件？
吧！
另外：三角形\(\triangle ABC\)中，\(AB=c,BC=a,AC=b\),若三角形\(\triangle ABC\)内有一点P,求\(aAP^n+bBP^n+cCP^n\)取最小值的条件？
\(n=1\)时，忘了，\(n=2\)时，P为内心

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三角形\(\triangle ABC\)中，\(AB=c,BC=a,AC=b\),若三角形\(△ABC\)内有一点\(P\),求\(k_1AP^n+k_2BP^n+k_3CP^n\)取最小值的条件？其中\( \{k_1,k_2,k_3\}\in \RR^+\)

条件为：\(\frac{k_1 x^{n-1}}{\sin(\alpha)}=\frac{k_2 y^{n-1}}{\sin(\beta)}=\frac{k_3 z^{n-1}}{\sin(\gamma)}\)

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近日， 有网友又提出三角形内点倒数和的最小值问题：

按照2#同样的证明方法，我们可以得到：

若三角形三边分别为\(a,b,c\),且\(P\)为\(\triangle ABC\)平面内的一点，\(PA=\frac{1}{x},PB=\frac{1}{y},PC=\frac{1}{z},\angle BPC=\alpha,\angle APC=\beta,\angle APB=\gamma\), 且\({k_1,k_2,k_3}\in\rm I\!R^+\)

则\(\frac{k_1}{x^n}+\frac{k_2}{y^n}+\frac{k_3}{z^n}\), 的最小值仅当 \(\frac{k_1}{x^{n+1}\sin(\alpha)}= \frac{k_2}{y^{n+1}\sin(\beta)}=\frac{k_3}{z^{n+1}\sin(\gamma)}\)

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我们现在来讨论cn8888提出 的n=1的问题

到三角形三顶点距离倒数和的最小值的点是什么点?
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 35&fromuid=1455

若三角形三边分别为\(a,b,c\),且\(P\)为\(\triangle ABC\)平面内的一点，\(PA=\frac{1}{x},PB=\frac{1}{y},PC=\frac{1}{z},\angle BPC=\alpha,\angle APC=\beta,\angle APB=\gamma\),

则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), 的最小值仅当 \(x^2\sin(\alpha)= y^2\sin(\beta)= z^2\sin(\gamma)\)

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方法一：拉格朗日乘子法

由于对于\(\triangle ABC\)所在平面中任一点\(P\)有结果：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 05&fromuid=1455

\( (-a^2+y^2+z^2)^2x^2+(-b^2+x^2+z^2)^2y^2+(-c^2+x^2+y^2)^2z^2-(-a^2+y^2+z^2)(-b^2+x^2+z^2)(-c^2+x^2+y^2)-4x^2y^2z^2＝0\)

对\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)使用拉格朗日乘子法得到：

\(-1+(2a^4x^3-2a^2b^2x^3-2a^2c^2x^3+4a^2x^5-2a^2x^3y^2-2a^2x^3z^2-2b^2x^3y^2+2b^2x^3z^2+2c^2x^3y^2-2c^2x^3z^2)\lambda=0\)

\(-1+(-2a^2b^2y^3-2a^2x^2y^3+2a^2y^3z^2+2b^4y^3-2b^2c^2y^3-2b^2x^2y^3+4b^2y^5-2b^2y^3z^2+2c^2x^2y^3-2c^2y^3z^2)\lambda=0\)

\(-1+(-2a^2c^2z^3-2a^2x^2z^3+2a^2y^2z^3-2b^2c^2z^3+2b^2x^2z^3-2b^2y^2z^3+2c^4z^3-2c^2x^2z^3-2c^2y^2z^3+4c^2z^5)\lambda=0\)



第二种方法：利用楼上的结认可以设\(x^2\sin(\alpha)=y^2\sin(\beta)=z^2\sin(\gamma)=k\)及平几中的余弦公式，面积公式可以得到：

\((4x^6z^4+8x^5y^3z^2+4x^4y^6+8x^3y^3z^4+8x^2y^6z^2+4y^6z^4)k^2+a^4x^4y^4z^2-2a^2b^2x^4y^4z^2-2a^2c^2x^4y^4z^2+b^4x^4y^4z^2-2b^2c^2x^4y^4z^2+c^4x^4y^4z^2=0\)

\(-a^4x^4+2a^2x^4y^2+2a^2x^4z^2-x^4y^4+2x^4y^2z^2-x^4z^4-4k^2y^2z^2=0\)

\(-b^4y^4+2b^2x^2y^4+2b^2y^4z^2-x^4y^4+2x^2y^4z^2-y^4z^4-4k^2x^2z^2=0\)

\(-c^4z^4+2c^2x^2z^4+2c^2y^2z^4-x^4z^4+2x^2y^2z^4-y^4z^4-4k^2x^2y^2=0\)



谁有兴趣计算出最终的表达式？

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对于第二种方法，用 \(x^8y^8-2x^8y^4z^4+x^8z^8-2x^4y^8z^4-2x^4y^4z^8+y^8z^8+4k^2x^4y^4z^4=0\) 代替第一个式子，进一步简化为：

\(a^2x^4yz-x^4y^4-x^4y^3z-x^4yz^3-x^4z^4+y^4z^4=0\)

\(b^2xy^4z-x^4y^4+x^4z^4-x^3y^4z-xy^4z^3-y^4z^4=0\)

\(c^2xyz^4+x^4y^4-x^4z^4-x^3yz^4-xy^3z^4-y^4z^4=0\)

再然后消元计算得到：

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2014-8-3 11:14 上传

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