一道平面几何题

gxqcn

已知：△ABC和△EAD是两个等腰直角三角形，∠ACB和∠EDA直角。点F是线段BE的中点。 求证：CF⊥DF，且CF=DF。 这是一道初中几何题，我想了好久没找到突破口，所以请大家帮忙。 图形不大会在电脑上画，所以就不帖出来了， 只需注意△ABC和△EAD的顶点排序同是逆（顺）时针方向的即可。

gxqcn

如果不成立，可以举个反例。 当点D在线段AB上时肯定是成立的， 推广到任意情形，我感觉也是成立的，但不知如何证明。 这是我家里那位问我的， 想了好长时间没解决， 所以请大家帮忙。 如果搁在20年前，我也许早就给解决了。 唉！好汉不提当年勇。

风云剑

是这个是这个图吗？

gxqcn

对。

zgg___

只要求证阴影的三角形全等就可以了。

kakery1986

原帖由 zgg___ 于 2009-1-19 10:15 发表 只要求证阴影的三角形全等就可以了。 705

阴影的三角形全等？是不是用多组两三角形相似来证明啊？还是不太明白。。。

gxqcn

简证：如图 6#， 分别取 AB、AE 的中点 G、H，连结 CG、FG、DH、FH ∵CG＝AB/2＝FH，FG＝AC/2＝DH 又∠CGF＝∠FHD（∵∠BFG＝∠BAE＝∠FHE 且 ∠BGC＝∠DHE＝Rt∠） ∴△CGF≌△FHD　=>　CF＝DF 由∠CFD＝∠CFH ＋ ∠HFD＝∠CFH ＋ ∠GCF＝Rt∠（∵CG⊥FH） 得CF⊥DF 故 CF=DF 且 CF⊥DF 成立。

hujunhua

偶查一个旧帖，撞入此处，想起曾见过的一个有趣命题： 以平行四边形的四边为斜边向形外作四个等腰直角三角形，四个直角顶点恰是一个正方形的顶点。 这个太直观，基本上不证自明。 郭老板的问题，作图形关于那个中点F的反演像，就成为上述命题。

wayne

8# hujunhua

wgM

好，真是精彩的证明