一个最大值问题

数学星空

已知$1/2<=a_i<=2, i=1,2,3...,n,$且有$a_1+2*a_2+3*a_3+....+n*a_n=n^2/2$,求 $a_1/a_2+a_2/a_3+a_3/a_4+....+a_{n-1}/a_n+a_n/a_1$ 的最大值?

northwolves

n=2时，最大值13/6,此时a1=1/2,a2=3/4

northwolves

猜测$a_n=frac{2n-1}{2n}$ 时取最大值，不知对不对

northwolves

如果成立，则$max(a_n) =$ 13/6 97/30 1793/420 6667/1260 87407/13860 1318451/180180

youyouyou

不知对否？没找到什么规律，n越大越难些： n 最大 2 2.5 3 5.25 4 6.75 5 8.8833333333 6 10.725 7 12.657142857 8 14.7678571 9 16.47321428 10 18.60142857

数学星空

楼上的能否给出,对于不同的n,得到最大值时相对应的$a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_n$的值 经计算: n=2 时 $ {a_1=1,a_2=1/2$} 最大值 $5/2$ n=3 时 ${a_1=2,a_2=1/2,a_3=1/2}$ 最大值 $21/4$ n=4 时 ${a_1=2,a_2=1/2,a_3=1,a_4=1/2} $ 最大值 $27/4$ ..........

youyouyou

供参考： n Max a1,a2.....an 2 2.5 1,0.5 3 5.25 2,0.5,0.5 4 6.75 2,0.5,1,0.5 5 8.8833333333 2,0.5,1.666666,0.5,0.5 6 10.725 2,0.5,2,0.5,0.8,0.5 7 12.657142857 2,0.5,2,0.5,1.4,0.5,0.5 8 14.767857142 2,0.5,2,0.5,2,0.5,0.5714285,0.5 9 16.4732142857 2,0.5,2,0.5,2,0.5,1.1428571428,0.5,0.5 10 18.60142857 2,0.5,2,0.5,2,0.5,1.78571428,0.5,0.5,0.5 15 28.0357142855 2,0.5,2,0.5,2,0.5,2,0.5,2,0.5,0.5,1.75,0.5,0.5,0.5

mathe

我们可以去证明，取到最值时，必然最多只有1个数没有取到边界值（也就是0.5或2)。 假设取最值的时候，有两个变量还没有取到边界值,那么我们值需要分析包含这两个变量的项， 设这两个变量为x,y,如果它们不相邻，对应约束条件类似u*x+v*y=S, 而我们已经知道F(x,y)=a/x+x/b+c/y+y/d的最大值不在边界取到，其中(u,v,a,b,c,d都是正数） 我们可以将y用x替换，然后计算出F关于x的二阶导数，得到 $2a/x^3+2c{u^2}/{v^2}*y^3$ 恒大于0，所以我们知道F看成x的函数是凸函数，最大值只能在边界取到，得到矛盾。

mathe

同样，如果x,y相邻，对应表达式为 F(x,y)=a/x+x/y+y/b,同样替换y为x后，可以计算出关于x二阶导数恒大于0。 由此得到最多只有一个变量不能取到0.5或2. 余下就是需要讨论到底哪些变量应该取0.5,哪些应该取2

mathe

现在可以分析出序列中一些不能出现的模式，必然 相邻4个数不能够为2 2 0.5 0.5 假设第二个2的位置是$a_k$,那么我们可以将这4个数替换为2 0.5 0.5+k/(k+1)*1.5 0.5，约束和不变，但是目标和变大。 同样相邻4个数不能够为0.5 0.5 2 2