鞋匠刀问题

数学星空 · 发表于 2012-4-9 21:34:35

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在一个圆$O$半径为$R$的直径$AB$上任取一点$D$,作$DP_|_AB$,分别以$AD,DB$为直径作两个半圆$O1,O2$其半径分别为$r1,r2$.现做与$AD$,圆$O$,圆$O1$相切的圆$O3$，设半径为$r3$; 与$AD$,圆$O$,圆$O2$相切的圆$O4$，设半径为$r4$.

(1) 求证: $r3=r4$ (2) 求$r3$的计算表达式

数学星空 · 发表于 2012-4-9 22:01:24

hujunhua · 发表于 2012-4-10 02:59:48

$R_3=R_4={R_1R_2}/R$

数学星空 · 发表于 2012-4-10 20:08:00

原来这个问题很简单：(设$r2>r1$) 以$D$点为原点建立直角坐标系，则$O(r2-r1,0) , O1(-r1,0), O2(r2,0) ,O3(r3,y3), O4(-r4,y4)$则可以得到如下方程 $(r3-r2+r1)^2+y3^2=(r1+r2-r3)^2....................(1)$ $(r3-r2)^2+y3^2=(r3+r2)^2..............................(2)$ $(r2-r1+r4)^2+y4^2=(r1+r2-r4)^2.....................(3)$ $(r4-r1)^2+y4^2=(r1+r4)^2................................(4)$ 由$(1),(2),(3),(4)$得 $r3=r4=(r1*r2)/(r1+r2)$ $y3=2*r2*sqrt((r1)/(r1+r2))$ $y4=2*r1*sqrt((r2)/(r1+r2))$

数学星空 · 发表于 2012-4-10 20:10:52

现在我们讨论稍微复杂一些的问题：在下图中求下列计算公式鞋匠刀问题2.jpg

(1)$ r_311,r_321,r_331,r_411,r_421,r_431$ (2) $r_(31k),r_(32k),r_(33k),r_(41k),r_(42k),r_(43k)$, $k$为正整数

wayne · 发表于 2012-4-10 21:31:35

数学星空的autocad的功底很深厚啊~~

wayne · 发表于 2012-4-10 21:32:51

能把图的背景色换成白色之类的比较淡点的颜色吗

数学星空 · 发表于 2012-4-10 21:57:19

数学星空 · 发表于 2012-4-10 22:15:59

现摘抄几张网络上鞋匠刀问题相关的图片供大家欣赏。

数学星空 · 发表于 2012-4-10 22:19:57

续上篇：

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[讨论] 鞋匠刀问题

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