不等式问题二

数学星空

若$a,b,c,d$均大于0,且$a+b+c+d=1$，$alpha_i (i=1...4)$为正常数， 求$alpha_1*a+alpha_2*sqrt(a*b)+alpha_3*(a*b*c)^(1/3)+alpha_4*(a*b*c*d)^(1/4)$的最大值？

数学星空

数学星空

其实本题的难点在于如何求解如下方程（根据平均－几何不等式得到取等条件）
$b = 4*a*beta_1^2$
$c = 27*gamma_1*gamma_2^2*b$
$d = 256*delta_1*delta_2*delta_3^2*delta_4*c$
$delta_1= 4*beta_1^2*delta_2$
$delta_2 = 27*gamma_1*gamma_2^2*delta_3$
$gamma_1 = 4*beta_1^2*gamma_2$
$1/27*alpha_3/(gamma_1*gamma_2)+alpha_4*delta_3 =k$
$1/4*alpha_2/beta_1+alpha_3*gamma_2+alpha_4*delta_2 =k$
$alpha_2*beta_1+alpha_3*gamma_1+alpha_4*delta_1+alpha_1 = k$
$1/256*alpha_4/(delta_1*delta_2*delta_3*delta_4)=k$
$a+b+c+d=1$
注：最大值记为$k$

KeyTo9_Fans

挺有意思的问题，

$2#$的解答也很精彩。

仿照$2#$的解答，

我们也许可以将$\alpha_1,...,\alpha_4$配平，

最终得到$\alpha(a+b+c+d)$，

其中$\alpha$是$\alpha_1,...,\alpha_4$的函数。

#####

对于任意给定的正整数$n$，

若$a_1,...,a_n>0$，

且$a_1+...+a_n=1$，

我们都可以求出

$a_1+(a_1*a_2)^{1/2}+(a_1*a_2*a_3)^{1/3}+...+(a_1*...*a_n)^{1/n}$

的最大值，记为$f(n)$。

例如：$f(1)=1$。

容易验证，$f(n)$是单调递增的。

不知道当$n\rightarrow\infty$时，$f(n)$是否有极限。

如果有极限，那么这个极限值应该挺有意思的。

数学星空

通过3#的方程组得到：
$a = {108*beta_1^2*gamma_1^3}/(432*beta_1^4*gamma_1^3+1024*beta_1^2*delta_1^4+729*gamma_1^6+108*beta_1^2*gamma_1^3)$
$b = {432*gamma_1^3*beta_1^4}/(432*beta_1^4*gamma_1^3+1024*beta_1^2*delta_1^4+729*gamma_1^6+108*beta_1^2*gamma_1^3)$
$c ={729*gamma_1^6}/(432*beta_1^4*gamma_1^3+1024*beta_1^2*delta_1^4+729*gamma_1^6+108*beta_1^2*gamma_1^3)$
$d ={1024*delta_1^4*beta_1^2}/(432*beta_1^4*gamma_1^3+1024*beta_1^2*delta_1^4+729*gamma_1^6+108*beta_1^2*gamma_1^3)$

$1024*alpha_3*beta_1^2*delta_1^3*gamma_1+1024*alpha_4*beta_1^2*delta_1^4-729*alpha_4*gamma_1^6=0$
$-27*alpha_4*beta_1^2*gamma_1^3+64*alpha_2*beta_1*delta_1^3+64*alpha_3*delta_1^3*gamma_1+64*alpha_4*delta_1^4=0$
$ 256*alpha_2*beta_1*delta_1^3+256*alpha_3*delta_1^3*gamma_1+256*alpha_4*delta_1^4+256*alpha_1*delta_1^3-27*alpha_4*gamma_1^3=0$
$-256*k*delta_1^3+27*alpha_4*gamma_1^3=0$

看来想得到关于k的代数也并非易事！

数学星空

根据5#得到的方程进一步消元得到：注为了方便粘贴下面已做代换$x=alpha_1,y=alpha_2,z=alpha_3,u=alpha_4$
$ 22039921152*u^20*z^3*k-654295038711035754184704*x*k^23+(1635737596777589385461760*x^2-163573759677758938546176*y^2)*k^22+(-2180983462370119180615680*x^3+817868798388794692730880*x*y^2-$
$24233149581890213117952*z^3)*k^21+(-2555839994964983414784*u^4+1635737596777589385461760*x^4-1635737596777589385461760*x^2*y^2+121165747909451065589760*x*z^3+102233599798599336591360*y^4)*k^20+($
$12779199974824917073920*u^4*x-654295038711035754184704*x^5+1635737596777589385461760*x^3*y^2-242331495818902131179520*x^2*z^3-408934399194397346365440*x*y^4+18174862186417659838464*y^2*z^3)*k^19+$
$(-25558399949649834147840*u^4*x^2+1916879996223737561088*u^4*y^2+109049173118505959030784*x^6-817868798388794692730880*x^4*y^2+242331495818902131179520*x^3*z^3+613401598791596019548160*x^2*y^4-$
$72699448745670639353856*x*y^2*z^3-34077866599533112197120*y^6+2243810146471316029440*z^6)*k^18+(25558399949649834147840*u^4*x^3-7667519984894950244352*u^4*x*y^2-$
$378642962217034579968*u^4*z^3+163573759677758938546176*x^5*y^2-121165747909451065589760*x^4*z^3-408934399194397346365440*x^3*y^4+109049173118505959030784*x^2*y^2*z^3+102233599798599336591360*x*y^6-$$8975240585885264117760*x*z^6-3029143697736276639744*y^4*z^3)*k^17+(24959374950829916160*u^8-12779199974824917073920*u^4*x^4+11501279977342425366528*u^4*x^2*y^2+1514571848868138319872*u^4*x*z^3-$
$319479999370622926848*u^4*y^4+24233149581890213117952*x^5*z^3+102233599798599336591360*x^4*y^4-72699448745670639353856*x^3*y^2*z^3-$
$102233599798599336591360*x^2*y^6+13462860878827896176640*x^2*z^6+9087431093208829919232*x*y^4*z^3+6389599987412458536960*y^8-448762029294263205888*y^2*z^6)*k^16+$
$(-99837499803319664640*u^8*x+2555839994964983414784*u^4*x^5-7667519984894950244352*u^4*x^3*y^2-2271857773302207479808*u^4*x^2*z^3+958439998111868780544*u^4*x*y^4-$
$946607405542586449920*u^4*y^2*z^3+18174862186417659838464*x^4*y^2*z^3+34077866599533112197120*x^3*y^6-8975240585885264117760*x^3*z^6-9087431093208829919232*x^2*y^4*z^3-$
$12779199974824917073920*x*y^8+1346286087882789617664*x*y^2*z^6-757285924434069159936*y^6*z^3-110805439331916840960*z^9)*k^15+(149756249704979496960*u^8*x^2-$
$4991874990165983232*u^8*y^2+1916879996223737561088*u^4*x^4*y^2+1514571848868138319872*u^4*x^3*z^3-958439998111868780544*u^4*x^2*y^4+2839822216627759349760*u^4*x*y^2*z^3-$
$79869999842655731712*u^4*y^6+59601207015644332032*u^4*z^6+2243810146471316029440*x^4*z^6+3029143697736276639744*x^3*y^4*z^3+6389599987412458536960*x^2*y^8-$
$1346286087882789617664*x^2*y^2*z^6+1514571848868138319872*x*y^6*z^3+332416317995750522880*x*z^9-638959998741245853696*y^10-56095253661782900736*y^4*z^6)*k^14+$
$(-99837499803319664640*u^8*x^3+14975624970497949696*u^8*x*y^2+6286064802431238144*u^8*z^3-378642962217034579968*u^4*x^4*z^3+319479999370622926848*u^4*x^3*y^4-$
$2839822216627759349760*u^4*x^2*y^2*z^3+159739999685311463424*u^4*x*y^6-178803621046932996096*u^4*x*z^6+520634073048422547456*u^4*y^4*z^3+448762029294263205888*x^3*y^2*z^6-$
$757285924434069159936*x^2*y^6*z^3-332416317995750522880*x^2*z^9+638959998741245853696*x*y^10+112190507323565801472*x*y^4*z^6+283982221662775934976*y^8*z^3-16620815899787526144*y^2*z^9)*k^13+$
$(-129996744535572480*u^12+24959374950829916160*u^8*x^4-14975624970497949696*u^8*x^2*y^2-18858194407293714432*u^8*x*z^3-623984373770747904*u^8*y^4+946607405542586449920*u^4*x^3*y^2*z^3-$
$79869999842655731712*u^4*x^2*y^6+178803621046932996096*u^4*x^2*z^6-1041268146096845094912*u^4*x*y^4*z^3+29951249940995899392*u^4*y^8-28924115169356808192*u^4*y^2*z^6+110805439331916840960*x^3*z^9-$$56095253661782900736*x^2*y^4*z^6-283982221662775934976*x*y^8*z^3+33241631799575052288*x*y^2*z^9+26623333280885243904*y^12-28047626830891450368*y^6*z^6+3077928870331023360*z^12)*k^12+($
$389990233606717440*u^12*x+4991874990165983232*u^8*x^3*y^2+18858194407293714432*u^8*x^2*z^3+1247968747541495808*u^8*x*y^4-3050590271768100864*u^8*y^2*z^3-$
$59601207015644332032*u^4*x^3*z^6+520634073048422547456*u^4*x^2*y^4*z^3-29951249940995899392*u^4*x*y^8+57848230338713616384*u^4*x*y^2*z^6-59162962846411653120*u^4*y^6*z^3-2207452111690530816*u^4*z^9-$$16620815899787526144*x^2*y^2*z^9+28047626830891450368*x*y^6*z^6-6155857740662046720*x*z^12-23665185138564661248*y^10*z^3-4155203974946881536*y^4*z^9)*k^11+(-389990233606717440*u^12*x^2-$
$19499511680335872*u^12*y^2-6286064802431238144*u^8*x^3*z^3-623984373770747904*u^8*x^2*y^4+6101180543536201728*u^8*x*y^2*z^3-311992186885373952*u^8*y^6+1129848248803000320*u^8*z^6-$
$28924115169356808192*u^4*x^2*y^2*z^6+59162962846411653120*u^4*x*y^6*z^3+4414904223381061632*u^4*x*z^9-2495937495082991616*u^4*y^10-$
$7231028792339202048*u^4*y^4*z^6+3077928870331023360*x^2*z^12+4155203974946881536*x*y^4*z^9+8764883384653578240*y^8*z^6+923378661099307008*y^2*z^12)*k^10+($
$129996744535572480*u^12*x^3+38999023360671744*u^12*x*y^2-24554940634497024*u^12*z^3-3050590271768100864*u^8*x^2*y^2*z^3+311992186885373952*u^8*x*y^6-2259696497606000640*u^8*x*z^6-$
$762647567942025216*u^8*y^4*z^3-2207452111690530816*u^4*x^2*z^9+7231028792339202048*u^4*x*y^4*z^6-1479074071160291328*u^4*y^8*z^3+2142527049581985792*u^4*y^2*z^9-923378661099307008*x*y^2*z^12-$
$1731334989561200640*y^6*z^9-45598946227126272*z^15)*k^9+(380849837506560*u^16-19499511680335872*u^12*x^2*y^2+49109881268994048*u^12*x*z^3-$
$4874877920083968*u^12*y^4+1129848248803000320*u^8*x^2*z^6+762647567942025216*u^8*x*y^4*z^3+97497558401679360*u^8*y^8-400582560939245568*u^8*y^2*z^6-$
$2142527049581985792*u^4*x*y^2*z^9+931268859619442688*u^4*y^6*z^6+19237055439568896*u^4*z^12+45598946227126272*x*z^15+192370554395688960*y^4*z^12)*k^8+(-761699675013120*u^16*x-$
$24554940634497024*u^12*x^2*z^3+4874877920083968*u^12*x*y^4+23832736498188288*u^12*y^2*z^3+400582560939245568*u^8*x*y^2*z^6+98219762537988096*u^8*y^6*z^3+8622859811291136*u^8*z^9-$
$19237055439568896*u^4*x*z^12-137965756980658176*u^4*y^4*z^9-11399736556781568*y^2*z^15)*k^7+(380849837506560*u^16*x^2+114254951251968*u^16*y^2-23832736498188288*u^12*x*y^2*z^3-$
$2031199133368320*u^12*y^6+909442245722112*u^12*z^6-8622859811291136*u^8*x*z^9+70615515550187520*u^8*y^4*z^6+4809263859892224*u^4*y^2*z^12+281474976710656*z^18)*k^6+$
$(-114254951251968*u^16*x*y^2+22568879259648*u^16*z^3-909442245722112*u^12*x*z^6-1534683789656064*u^12*y^4*z^3+2155714952822784*u^8*y^2*z^9+178120883699712*u^4*z^15)*k^5+$
$(-595077871104*u^20-22568879259648*u^16*x*z^3+23803114844160*u^16*y^4+227360561430528*u^12*y^2*z^6+46965467381760*u^8*z^12)*k^4+(595077871104*u^20*x+5642219814912*u^16*y^2*z^3+$
$6604518850560*u^12*z^9)*k^3+(-148769467776*u^20*y^2+522427760640*u^16*z^6)*k^2+109049173118505959030784*k^24+387420489*u^24=0$

进一步令$x=alpha_1=1,y=alpha_2=1,z=alpha_3=1,u=alpha_4=1$得到
$109049173118505959030784*k^24-654295038711035754184704*k^23+1472163837099830446915584*k^22-1387347813563214701002752*k^21+220843507713085418766336*k^20+361130725214496730644480*k^19+$
$18738444188050884919296*k^18-149735761790067869220864*k^17-20033038006659651207168*k^16+14417509185682352898048*k^15+16905530303693690241024*k^14-2098418839125516877824*k^13-$
$198705178996352483328*k^12+427447433656163893248*k^11+41447678188009291776*k^10-2629784260986273792*k^9+660475521813381120*k^8+342213608420278272*k^7+42624005978423296*k^6-$
$201976270848000*k^5+274965186525696*k^4+12841816536576*k^3+373658292864*k^2+22039921152*k+387420489=0$
求得最大实根为：$k=1.4208443854096138127$

数学星空

其实对于4#的问题，可以得到如下答案：
$n=2$     $sqrt(k^2-k)=1/2$     得到：$k={sqrt(2)+1}/2=1.207106781$

$n=3$     $(3*k-4)*(3888*k^5-2592*k^4-1512*k^3-360*k^2+51*k-4)=0$    得到：$k=4/3$

$n=4$      
$109049173118505959030784*k^24-654295038711035754184704*k^23+1472163837099830446915584*k^22-$
$1387347813563214701002752*k^21+220843507713085418766336*k^20+361130725214496730644480*k^19+18738444188050884919296*k^18-$
$149735761790067869220864*k^17-20033038006659651207168*k^16+14417509185682352898048*k^15+16905530303693690241024*k^14-$
$2098418839125516877824*k^13-198705178996352483328*k^12+427447433656163893248*k^11+41447678188009291776*k^10-$
$2629784260986273792*k^9+660475521813381120*k^8+342213608420278272*k^7+42624005978423296*k^6-$
$201976270848000*k^5+274965186525696*k^4+12841816536576*k^3+373658292864*k^2+22039921152*k+387420489=0$
得到：$k=1.4208443854096138127$

n=5
5905684770308534937017423724484399202304000000000000000000000000000000*k^102-141736434487404838488418169387625580855296000000000000000000000000000000*k^101+1594534887983304432994704405610787784622080000000000000000000000000000000*k^100-11143370974375504477825543298799340805947392000000000000000000000000000000*k^99+53976154285829081716441830851204927364857856000000000000000000000000000000*k^98-190988205003786267492327645076568668980510720000000000000000000000000000000*k^97+504372404324739441514882011496106634896375808000000000000000000000000000000*k^96-986177397816857485579104653081609758367121408000000000000000000000000000000*k^95+1337301353712639883682945169152941788200208384000000000000000000000000000000*k^94-902393146168509353256489680037975083142979584000000000000000000000000000000*k^93-913054185332355997601659388502996606734579712000000000000000000000000000000*k^92+3769768295322781186450997219067545922051151872000000000000000000000000000000*k^91-5845728559501263616708389265118669438475581184000000000000000000000000000000*k^90+4626683491490044345107502645107060164589553152000000000000000000000000000000*k^89+953608567878161380543662513356168814835340160000000000000000000000000000000*k^88-8616694661357547097699119963701626953928731264000000000000000000000000000000*k^87+13204398866021368585544209720198125863360542140000000000000000000000000000000*k^86-10063781810995607683901497203867773678753588164423680000000000000000000000000*k^85-799670071276170720526818723176329973165888599526400000000000000000000000000*k^84+13395409799584142125549113122730088678686148666229760000000000000000000000000*k^83-19183608622656443713043080563216794857761803646560640000000000000000000000000*k^82+13290807444621778395919757971145860230246169421779200000000000000000000000000*k^81+1313101508099390784469646180374830003532009752045120000000000000000000000000*k^80-15364972522296759688347376569546615532786884771019200000000000000000000000000*k^79+19765876524455552512052626198341814085175837766053180000000000000000000000000*k^78-12053902123733891349397212532514165556013892003779920000000000000000000000000*k^77-2078042380227750194368958829275628950010903927414300000000000000000000000000*k^76+13212064105595356873576314946394957952360224393814060000000000000000000000000*k^75-14938438520079121683458459073974452700166019560559117500000000000000000000000*k^74+7763409852794045826287215269569183873701871288782635000000000000000000000000*k^73+2292566651436232301463388403916220048628365573011693750000000000000000000000*k^72-8627913260576437084930783861157429091533204474866211250000000000000000000000*k^71+8439012938558567716724431342492133299852800777692468027343750000000000000000*k^70-3615464822777593606271679071896490038316423942117764218750000000000000000000*k^69-1673683009913167406453216796956670492649566217838592657562500000000000000000*k^68+4237172265068202730926943809561875342400181293563635216312500000000000000000*k^67-3545655765433606311762321108186394818768786345457183402448437500000000000000*k^66+1185191247003469901686417407591430679242716980160387366403125000000000000000*k^65+855932035072568962976201976854470289439701380376479201975781250000000000000*k^64-1551377820541913989397029687818100163206691073345043830292968750000000000000*k^63+1085949305157599216861586095149342970424068620004359484953564453125000000000*k^62-246190304882869103935734514961768043569459313288092715868945312500000000000*k^61-315153574132343665652204124751964835816095341286299096905615234375000000000*k^60+414746535058862985949604074121458665280207894012835446339013671875000000000*k^59-230643181581262820536592547416991224185779453371399371915887451171875000000*k^58+18512973176860175989765588115282777077988591573997748142761230468750000000*k^57+83604978202892337921804014888400575165966308417594190636288452148437500000*k^56-78473971600365681170828791834992556201741778704790405269949340820312500000*k^55+31660187904142011206630663508863051568147026097895426215825748443603515625*k^54+4301427072590123244197111956225782810852634738265799107702636718750000000*k^53-14972064712501879273389701419184897704121875416770280037566375732421875000*k^52+10125378863078235941316836019447435209915679652695985550343325195312500000*k^51-2685189826140105997018431947310802243884871769985017535783034057617187500*k^50-1280191958934355605536173876076219076191401929935198319209100585937500000*k^49+1809153075213506939363351611479323757892272399444715076118569091796875000*k^48-944490762656079056540375046324405705224869281641810870320951171875000000*k^47+144937447685266859342702627042003778397258208172048339219579895019531250*k^46+176014618949059240787662718178359982210395426024031228343318359375000000*k^45-168583638180802062687671775784385728961151859154832873183599853515625000*k^44+68367925971648180075501636973934936407370472276783281386204101562500000*k^43-61740358257155486972762081315050037790857419591914968604858398437500*k^42-18522005553385759243966498626583384424954831662072685163166992187500000*k^41+12240939942976693590947809040516345406276786612867853436518798828125000*k^40-3184882753276821429871611612747596712246503690209365794797851562500000*k^39-1024365067364312598046737043234005733344036715141580190954986572265625*k^38+1412490960365501381357396746037805644602444010296229074265625000000000*k^37-623421540998147014385855511441190248383921315997547903519042968750000*k^36+47972218158177185193935566161151660191022712851458314431640625000000*k^35+112023567807420389430439214415129894881916459370480430328734765625000*k^34-73126532960355800292850135568199837909170485434491161297846875000000*k^33+16512956417298488577097301845329638129086122949213330973854218750000*k^32+5167368730059711305239872913958582632778601917261818263236250000000*k^31-5202280179388893120490006030386202157824440962794145553220976562500*k^30+1478745274333856363503551910616823770570522615486901971126250000000*k^29+60227530620833426340454159894920806482278217225778611594218750000*k^28-119879335103064255798433386836599588839417933485152066059375000000*k^27-3803298537367925870039696957755359385626800249783823324609375000*k^26+10359478717973161521304422803140900753290428450744300011875000000*k^25+12499278999487905508057256200352085958658646238806144174843750000*k^24-14404425470231844698370779330548015411218238159163127705937500000*k^23+4886959834047339467405446325506284403203835824162703080615234375*k^22+845466785997599310152658342573093536928683871956227286250000000*k^21-1521268756695677444914214728972073150846190293363886913359375000*k^20+629311158910760928607903253192012707571618931560303804062500000*k^19-33595146415798890939490546367961958527561231919553812148437500*k^18-80460814225807109658571138798283295975810985486513563984300000*k^17+39249834432978135457932607552196253146753805682369669921575000*k^16-5466733225137947170882211316462737739541853838407917733400000*k^15-2356191088086229617689789779172813705456097586789971762468750*k^14+1333042359411231134245211943045112482583909768323385762200000*k^13-212581113641824830013915292319957329618595615104746469925000*k^12-43342164884243638344635750008232290926781909341278467500000*k^11+23106975251407863418745308944873871500684768578930119612500*k^10-3304904869795718380729761700618160512560653615026539900000*k^9-208434504078843577234423195184141430208336208122942575000*k^8+238349065430729194058005156758691387943968381008182100000*k^7-37890825420764917251038776503413336778329692449554184375*k^6-2891268822207473864047217571515103763451861506641600000*k^5+1598061223240201472943794032380826861524917532057600000*k^4-212095812390161146665556854911062683585768062976000000*k^3+13898418590353326411947684401014782379842705817600000*k^2-464441948528328174758848657449371503346633932800000*k+6341180737240107346040813669708752259026041962496=0
得到：k=1.7706233987158690002

数学星空

对于$n=6$
k为下列方程的最大实根
$((((((((k^2-k)^(1/2)-1/2)^2*k)^(1/3)-1/3)^3*k)^(1/4)-1/4)^4*k)^(1/5)-1/5)^5*k=(1/6)^6$

对于$n=7$
k为下列方程的最大实根
$((((((((((k^2-k)^(1/2)-1/2)^2*k)^(1/3)-1/3)^3*k)^(1/4)-1/4)^4*k)^(1/5)-1/5)^5*k)^(1/6)-1/6)^6*k=(1/7)^7$

对于$n=8$
k为下列方程的最大实根
$((((((((((((k^2-k)^(1/2)-1/2)^2*k)^(1/3)-1/3)^3*k)^(1/4)-1/4)^4*k)^(1/5)-1/5)^5*k)^(1/6)-1/6)^6*k)^(1/7)-1/7)^7*k=(1/8)^8$

......

谁有兴趣计算k的值？

wayne

数学星空 发表于 2013-10-3 09:32
对于
k为下列方程的最大实根

这个形式上看上去有规可循， 但是展开起来有点夸张啊。

wayne

数学星空 发表于 2013-10-3 09:14
其实对于4#的问题，可以得到如下答案：
          得到：

我算的n=5跟星空的不一样，直观上看，我的各值增长缓慢有序，星空的跳跃很大，应该星空的有问题吧，呵呵：
{2,1.2071067811865475244}
{3,1.3333333333333333333}
{4,1.4208443854096138127}
{5,1.4863532289630506405}
{6,1.5379375565200349314}
{7,1.5800372106320523521}
{8,1.6153223997025154181}
{9,1.6455095229654850634}
{10,1.6717598117746269022}
{11,1.6948914447952002823}
{12,1.7155002229834597662}
{13,1.7340320305579521193}
{14,1.7508283247728315365}
{15,1.7661557795845829306}
{16,1.7802262265671340380}
{17,1.7932104410890079583}
{18,1.8052479032405679004}
{19,1.8164538550045598629}
{20,1.8269244980919275537}
{21,1.8367408861507595618}
{22,1.8459718828800575196}
{23,1.8546764405356997473}
{24,1.8629053764142772740}
{25,1.8707027733414674886}
{26,1.8781070949833550148}
{27,1.8851520823506100056}
{28,1.8918674806263563208}
{29,1.8982796331206052650}
{30,1.9044119702229642483}
{31,1.9102854146768111894}
{32,1.9159187196427814657}
{33,1.9213287523819213142}
{34,1.9265307336372515292}
{35,1.9315384406920866637}
{36,1.9363643804664991442}
{37,1.9410199377585781586}
{38,1.9455155027561487910}
{39,1.9498605811722265340}
{40,1.9540638897452618003}
{41,1.9581334393568971117}
{42,1.9620766076281072062}
{43,1.9659002025383830039}
{44,1.9696105183560617257}
{45,1.9732133849586884352}
{46,1.9767142114508434540}
{47,1.9801180248457163209}
{48,1.9834295044599796889}
{49,1.9866530125745791006}
{50,1.9897926218332249318}

1. Table[{n,
   
2.    k /. FindRoot[
   
3.      Last@ComposeList[
   
4.          Map[Function[x, #] &, ((k x)^(1/#) - 1/#)^# & /@
   
5.            Range[2, n - 1]], k - 1]*k == (1/n)^n, {k, 2},
   
6.      WorkingPrecision -> 20]}, {n, 2, 50}] // Column
   

复制代码