关于台球无限反弹的运动轨迹

wayne

葡萄糖 在《数学欣赏》板块发了一个帖子，我立马想起，我在台球实战的时候多次打算在论坛里提出来但总是忘了的问题：
1.1）假设台球在长方形桌面上无限的反弹下去，无能量损失，那么台球的轨迹可否精确的建立起数学公式？
1.2）台球的轨迹重合，即是周期运动的条件是什么？
1.3）运动可以是非周期的吗？如果可以，那个非周期运动能否填充桌面的任何一个点？
1.4）给定桌面上一点$(x_0,y_0)$，问经过该点的条件是什么？
1.5）台球的轨迹经过四个角，即奇点的条件是什么？

2.1）如果桌面内边界是椭圆的呢？


为了讨论方便，统一一下：
假设坐标原点建立在桌面一角，x,y轴为桌面的两边。桌面长(x轴方向)，宽(y轴方向)分别为$a,b$,球初始位置是在$x$轴上，发射角度是 $alpha$.  

zeroieme

长方形桌面的反弹等于直线穿过长方形网格的情形
┌──────A───B
│             ┊       │
└─────C────D

只要两反射点与长方形角的长度之差CD-AB之差跟长的比为无理数。
或者宽x方向比例为类似无理数。
为即非周期轨迹，反之，周期为最小公倍数

zhouguang

1、第一问取决与什么是精确数学公式，呵呵，就不深入了。
2、设边长为w1和w2，那么，m*w1+n*w2就周期性的覆盖整个“复”平面，构成象救生圈一样的拓扑结构。简化来说，设w1=w2=1，小球从原点出发，如果角度的正切是无理数，那么它就不会再次经过整点，于是就不会循环了，反之依然。故循环的充要条件是角度的正切是否为无理数。
3、因此，非周期是可能的。但是，由无理数根号二造成的非周期，是无法通过和pai相关的无理点的，所以要想覆盖全平面就难了。
4、如此扩展，就破坏了刚才讨论的拓扑结构，于是就形成了一个崭新的问题了。呵呵。

mathe

覆盖整个桌面是不可能的，因为可列条线段是无法覆盖拥有非0面积的图形。面积具有可列可加性，每段线段面积为0，可列条线段构成的“图形”其“面积”还是0

mathe

如同前面各位所言，如果我们不断将桌面对称扩展到全平面，对应轨迹变成一直线，出现周期的条件很简单，直线斜率和边长长度比的比值是有理数即为充要条件

mathe

而我们可以通过等比例压缩某个方向将台球桌变成正方形，如果这时直线斜率是无理数，我们知道不会形成周期，我们考虑直线纵向移动两单位距离时横向移动的数值必然是一个无理数，而无理数所有自然数倍数的小数部分我们知道是稠密的，也就是说台球轨迹会稠密覆盖桌面底下的一条边，另外由于所有底边反弹出去的轨迹平行，必然稠密覆盖整个台球桌

mathe

而第一问其实也不难，由于轨迹本质是直线分段后的结果，我们只需要将直线轨迹上的点映射回原平面即可.而最后一问就是点的横纵坐标加上边长整数倍后比例正好为斜率。

wayne

求运动轨迹的方程的确没啥意思。我们可以换种角度，求台球的所有反射点以及方向。

假设台球在第$n$次弹射点的状态记为 $S_n$.$S_n$用弹射点的坐标和此刻的方向角决定:

$S_n = {{x_n,y_n},\alpha_n},  x_n \in [0,a] ,  y_n \in [0,b] ,  \alpha_n \in [-\pi,\pi)$  

比如：初始状态 $S_0: x_0=1, y_0=0, \alpha_0 = \pi/4$,球桌参数$a=5,b=3$

我们的目标就是求出$S_n$在各种可能的初始条件下的递推表达。

kastin

wayne 发表于 2014-6-9 13:38
求运动轨迹的方程的确没啥意思。我们可以换种角度，求台球的所有反射点以及方向。

假设台球在第$n$次弹 ...

这个问题需要考虑一些细节：
球桌四个角上是否有球洞？如果有球洞，那么球撞向角的时候我们可以认为没有反弹的可能性（但实际情况则不然，跟球的撞击角有关）。并且由于球有大小，存在这样的可能，如果球心入射轨迹不是指向角点的，而是非常靠近角点，而球洞本身也是有大小的（通常稍大于台球），所以球也可能会进入球洞。

如果不考虑有球洞的情况，那么需要定义台球以不同角度入射角点时候的反弹行为是什么样的（如果模拟真实的情况，其实需要用到冲量定理，跟刚体接触点有关，那就极其复杂了）。

如果不考虑有球洞，并且忽略球的大小，那么这就仍然存在一个问题，当这个质点撞向角点时候该怎么反射。这个问题与一束光射向一个直角平面镜的角点时是如何反射的问题一模一样。

kastin

考虑忽略球体积，如果入射到角点，就认为不再反弹（“被吸进去”）。
设`x`表示往右扩展的球桌数，`y`为球桌行数，那么8#问题可以等价为不定方程
$$(4+5x)\tan\alpha_0=3y$$
的最小正整数解。
很容易观察出一组最小正整数解为`x=1`，`y=3`
即`2\times3`的球桌阵列，台球从最左下角球桌坐标为(1,0)处发射，直接撞向右上角球桌的右上角点。各条边的交点便是真实撞击点多次镜像后的位置。
可以求出一共有3个撞击点：
(1,0)[初始点]--->(3,3)--->(5,2)--->(3,0)--->(0,3)[进洞]