如何求下列极限

dianyancao

给定一个常数\(a\)，用\(\sin\)函数复合\(n\)次，当\(n\)为无穷大时，证明其极限为0
\[
\lim_{n\to\infty}{\underbrace{\sin\sin ... \sin}_{n个\sin}}\space a=0
\]

kastin

记`A_n={\underbrace{\sin\sin ... \sin}_{n个\sin}}\space a`
显然`A_n`有界，这是因为`|{\underbrace{\sin\sin ... \sin}_{n个\sin}}\space a|<|{\underbrace{\sin\sin ... \sin}_{n-1个\sin}}\space a|<\cdots<|\sin a|<1`

当`\sin a\geq 0 `时，`A_n\quad(n=1,2,\cdots)`始终大于`0`。此时由不等式`\sin x<x`可知，数列`A_{n+1} < A_n`即A_n单调递减；

当`\sin a\le 0 `时，同样根据`\sin (-x)> -x`可知，`A_n`单调递增。

而单调有界数列必有极限，故可设`\D\lim_{n\to\oo}A_n=\alpha`，有`\sin \alpha=\alpha`，解出`\alpha=(-1)^k\pi`，而`|\alpha|<1`，所以`\alpha=0`.