求 \(a^3+b^3+1^3=c^3\) 的非负整数解,最好有公式

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求 \(a^3+b^3+1^3=c^3\) 的非负整数解,最好有公式
最好有一个公式能把所有解都表达出来

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Ramanujan's Sum Identity.
http://mathworld.wolfram.com/RamanujansSumIdentity.html

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又是不定方程与泰勒展开的关系,真他妈的神秘

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Euler's sum of powers conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi%E2%80%93Madden_equation
挺有意思的,发到这边给大家欣赏

kastin

根据链接，这个恒等式来自于S. Ramanujan Aiyangar 的 The Lost Notebook and Other Unpublished Papers
Ramanujan 指出，如果`a_n`，`b_n`，`c_n`的母函数是$$\sum_{n=0}^{\oo}a_nx^n=\frac{9 x^2+53 x+1}{x^3-82 x^2-82 x+1}\\
\sum_{n=0}^{\oo}b_nx^n=\frac{-12 x^2-26 x+2}{x^3-82 x^2-82 x+1}\\
\sum_{n=0}^{\oo}c_nx^n=\frac{-10 x^2+8 x+2}{x^3-82 x^2-82 x+1}$$
那么有恒等式$$a_n^3+b_n^3=c_n^3+ (-1)^n\tag{1}$$

显然，由于母函数分母是3次的且分母一样，故`a_n`，`b_n`，`c_n`同时满足一三阶线性递推式$$s_{n+3}=82 s_{n+2}+82 s_{n+1}-s_n\quad(n\geqslant0)\tag{2}$$其中，`s`可以换成`a`，`b`，`c`。只不过三者的初始值`s_0`，`s_1`，`s_2`各不相同（由各自母函数的分子决定）。

同样根据母函数可以给出三者的通项公$$a_n=\frac{1}{85}\{(64+8\sqrt{85})\alpha^n + (64-8\sqrt{85})\beta^n - 43(-1)^n \}\\
b_n=\frac{1}{85}\{(77+7\sqrt{85})\alpha^n + (77-7\sqrt{85})\beta^n + 16(-1)^n \}\\
c_n=\frac{1}{85}\{(93+9\sqrt{85})\alpha^n + (93-9\sqrt{85})\beta^n - 16(-1)^n \}$$其中`\alpha=\frac{83+9\sqrt{85}}{2}`，`\beta=\frac{83-9\sqrt{85}}{2}`

他到底是如何得到这个结果的呢？有人做了研究，过程曲径通幽，一般人是想不到的。详见http://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper39.pdf

Jung Hun Han and Michael D. Hirschhorn 的论文 ANOTHER LOOK AT AN AMAZING IDENTITY OF RAMANUJAN 中，给出了一个矩阵形式的通解公式，方法跟上面的大同小异
\[{\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}63&104&-68\\64&104&-67\\80&131&-85\end{pmatrix}}^n{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}\]

更一般的扩展`a_n^3+b_n^3=c_n^3+1`以及`a_n^4+b_n^4+c_n^4=d_n^4+e_n^4+1`的母函数和通解都可类似给出，见http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_41_from41to55.pdf


至于楼主的问题`a^3+b^3=c^3-1`，上述方法无法解决因为末尾项的一般形式是`(-t)^{3n}`