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[求助] 伴圆曲线方程

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发表于 2015-5-13 17:37:07 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图:BC是圆的直径,D是圆上一点,E是D在BC上的正投影(没标出),A是三角形DBC内一点满足AB=BD,CA=CE。当D点在圆上运动时,追踪A点得到如图红色轨迹。
这条曲线显然不是圆及椭圆。象个核桃。我不知道这是什么曲线,请问诸位同好,有没有知道的?
这是我今天解几何题“三角形 ABC中, BC^2-AB^2=AC*BC, 角B=54度,求 角C”引出的问题。
未命名.JPG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2015-5-13 18:06:41 | 显示全部楼层
解析几何,列方程,消元。 目测是一个 四次的 代数曲线
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发表于 2015-5-13 18:15:43 | 显示全部楼层
以圆心为坐标原点,以直径$BC$为$x$轴,
根据直角三角形 $CE*CB=CD^2 =BC^2 - BD^2$,直接列$A$的轨迹方程:
$((x+R)^2+y^2-4R^2)^2 = 4R^2((x-R)^2+y^2)$
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发表于 2015-5-13 18:20:29 | 显示全部楼层
至于 原问题
三角形 ABC中, BC^2-AB^2=AC*BC, 角B=54度,求 角C

我想,正统的解决办法就是 三角变换,将边AB,BC,AC 全部转化成正弦,化简之...

点评

结果是24度,可能还几何方法简明  发表于 2015-5-13 21:27
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 楼主| 发表于 2015-5-13 19:21:12 | 显示全部楼层
我想问的是这个曲线在以前有没有大名?如双纽线]心脏线之类。@wayen
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发表于 2015-5-13 20:46:37 | 显示全部楼层
ccmmjj 发表于 2015-5-13 19:21
我想问的是这个曲线在以前有没有大名?如双纽线]心脏线之类。@wayen

Limacon, 蜗牛线, http://mathworld.wolfram.com/Limacon.html


321.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2015-5-13 22:15:58 | 显示全部楼层
@wayne 呵呵,果然有个大名叫蜗牛线啊。会英语就是好,可以从那个网站上找到不少资料。我就有些奇怪,我从那几何意义下推导出来的只有那中间那一圈,外面那一大圈也许从方程可以推出来,但几何意义在哪里?还有hujunhua兄可就是当年在东陆论坛教育民科的胡俊华大师?当年看你的“几何难不倒”推导pi/7的那题,可谓印象深刻,钦佩之至。对这原题你说有几何法推得24度,望兄有以教我。@hujunhua

点评

让我想起了那位调离好多年杳无音讯的“几何难不倒”老弟,不是你提起,都忘得一干二净了。  发表于 2015-5-14 11:25
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2015-5-13 23:29:54 | 显示全部楼层
易得BC是三角形是最长边,如图在其上取点D使`CD=CA`,则`BD=BC-AC`,连结线段AD,有`\angle CAD=\angle CDA=:y`.
无标题.png (角C应标为`x`)
由`BC^2-AB^2=AC\cdot BC \implies BC\cdot BD=AB^2 \implies\triangle ABC\sim\triangle DBA\ \implies\angle DAB=\angle C=:x`
可得` y=x+54\degree, x+2y=180\degree`, 解得`x=24\degree`。

点评

哦,那就是42度  发表于 2015-5-14 08:11
非常感谢!其实原题是“三角形 ABC中, BC^2-AB^2=AC*AB,, 角B=54度,求 角C”我看错了其实解法是差不多的。  发表于 2015-5-14 00:19
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发表于 2015-5-14 08:05:23 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2015-5-13 23:29
易得BC是三角形是最长边,如图在其上取点D使`CD=CA`,则`BD=BC-AC`,连结线段AD,有`\angle CAD=\angle CDA= ...


虽然问题的描述形式是纯代数的,不过联想到54°的特殊性,的确从几何形状上做比较方便:
三角形 ABC中, BC^2-AB^2=AC*BC, 角B=54度,求 角C

不过呢,三角代数也很简单的,好处是心中无图,呵呵:
$BC^2-AB^2=AC*BC \implies \sin^2A-\sin^2C =\sin(A+C)\sin(A-C) = \sinB\sinA \implies 2A -C =\pi$,再联立$A+C=\pi -B =\pi - \frac{3\pi}{10}$
于是得`A =  \frac{17\pi}{30} =102\degree ,C =  \frac{2\pi}{15} =24\degree`

点评

嗯嗯,不是54°的特殊性,而是这个条件式子的特殊性  发表于 2015-5-14 08:37
54度的特殊性反而是三角、代数方法用得着。强行解含二次根系数的代数方程。  发表于 2015-5-14 08:22
几何方法全在边之间的那个关系式可以得到相似形,与54度是否特殊无关。  发表于 2015-5-14 08:14
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