几道类似的不等式

kastin

`a,b,c`都是正数，证明下列不等式成立：
1.  `\D\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a} \leqslant 1`
2.  `\D\frac{a}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+2c}+\frac{c}{2a+b+c} \geqslant \frac{3}{4}`
3.  `\D\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c} \leqslant \frac{3}{4}`
4.  `\D\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{ca}{a+2b+c}+\frac{bc}{2a+b+c} \leqslant \frac{a+b+c}{4}`

数学星空

为了方便 输入，我们记

\(\sum=\sum_{cyc}\)(即代数式的循环和）

(1) \(\sum\frac{a}{2a+b}\leqslant 1 \iff \sum\frac{b}{2a+b}\geqslant 1\)

        又\(\sum{\frac{b}{2a+b}}=\sum{\frac{b^2}{b(2a+b)}} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum b(2a+b)}=1\)即证

(2) \(\sum{\frac{a}{a+2b+c}}=\sum{\frac{a^2}{a(a+2b+c)}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum a(a+2b+c)}\geqslant\frac{3}{4}\)

       即只须证：\(4(a+b+c)^2\geqslant 3\sum a(a+2b+c) \iff a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ac+bc\) 即证

(3) \(\sum{\frac{a}{2a+b+c}}\leqslant \frac{3}{4} \iff \sum{\frac{b+c}{2a+b+c}}=\sum{\frac{(b+c)^2}{(b+c)(2a+b+c)}}\geqslant \frac{3}{2}\)

       即只须证：\(2\sum{(b+c)^2}\geqslant 3\sum{(b+c)(2a+b+c)} \iff a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ac+bc\) 即证


         

kastin

数学星空 发表于 2016-7-11 06:24
为了方便 输入，我们记

\(\sum=\sum_{cyc}\)(即代数式的循环和）

作差法确实是最终极的方法，可是总觉得对于复杂的表达式就不那么明显了，上述分式都很简单故有效。若分式带有平方或者根号的，就比较麻烦了，比如下面两个。
`\D\sum\frac{b^2}{(a+b)^2}\geqslant \frac{3}{4}`
`\D\sum\frac{a^2b}{a+c}\geqslant \frac{1}{6}`

补充内容 (2016-7-12 13:39):
第二个输入错误，应该改成 `\D\sum\frac{a^2b}{a+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{6}`

补充内容 (2016-7-14 14:54):
再次更正，第二个应该`\D\sum\frac{a^2b}{b+c}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{6}`

数学星空

(4)\(\sum{\frac{ab}{a+b+2c}} \leqslant \frac{1}{4}\sum({\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}})= \frac{1}{4}\sum({\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}})= \frac{1}{4}\sum{a}\)

数学星空

\(\sum{\frac{b^2}{(a+b)^2}}=\sum{\frac{1}{(1+x)^2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{1+z}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{1+z+z^2}{(1+z)^2}=1-\frac{z}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}\)  

注：\(x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a},xyz=1\)

\(\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant  \frac{1}{(1+\frac{x}{y})(1+xy)}+\frac{1}{(1+\frac{y}{x})(1+xy)}=\frac{1}{1+xy}\)

发疯的_小男孩

$${\frac {{b}^{2}}{ \left( a+b \right) ^{2}}}+{\frac {{c}^{2}}{ \left( b
+c \right) ^{2}}}+{\frac {{a}^{2}}{ \left( c+a \right) ^{2}}}-3/4
=1/4\,{\frac {\sum  \left( 1/3\, \left( a-b \right) ^{2}a \left( 3\,a{b
}^{2}+abc+12\,a{c}^{2}+5\,{b}^{2}c+15\,b{c}^{2}+12\,{c}^{3} \right)
\right) }{ \left( a+b \right) ^{2} \left( b+c \right) ^{2} \left( c+a
\right) ^{2}}}
$$

kastin

继续
7. `\D\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geqslant 1`
8. `1\leqslant \D\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}`

发疯的_小男孩

kastin 发表于 2016-7-12 11:35
继续
7. `\D\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geqslant 1`
8. `1\leqslant \D\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ ...

第8题左边的一个加强：http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1216283p6102534

发疯的_小男孩

模仿陈计的局部：

kastin

发疯的_小男孩 发表于 2016-7-13 12:04
模仿陈计的局部：

7、8题左边都可转换为对应的条件不等式：
若 `x,y,z>0,\;xyz=1`，那么$$\sum\frac{1}{\sqrt{1+8x}}\geqslant 1\\
\sum\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\geqslant 1$$