计算残余球缺的体积，要求无误差理论表达式

TSC999

一个圆圆的西瓜，想切成相等的两半。用西瓜刀猛剁下去，槽糕！没有切准，切成了一半多一半少。
把少的那一块拿来再切，还是想切成相等的两半。谁知运气太差，还是切成了一半多一半少，如下图。求那块最小的体积。
要求给出完全精确的、没有任何误差的理论表达式哈。

kastin

切片法，积分一下就得出来了，只不过被表达式应该很复杂（弓形面积的原因），因为被积函数的一部分是反三角函数与无理函数的复合函数，这部分可能不存在原函数。

wayne

我们来切切片积分玩玩。 不妨 水平的切,那么每一个切片是一个弓形，圆半径是$r$, 切片所在的平面 离球心的距离是$h$,则有$R^2 = r^2 +h^2$
那么， $\d V = (r^2 arccos(h_1/r)-h_1\sqrt{r^2-h_1^2}) \d h =((R^2-h^2) arccos(h_1/\sqrt{R^2-h^2})-h_1\sqrt{R^2-h^2-h_1^2}) \d h$

而这个用Mathematica是可以给出原函数的。
\(V(h) =-\frac{2}{3} h_1 h \sqrt{-h_1^2-h^2+R^2}-\frac{1}{3} h (h^2-3 R^2) \cos ^{-1}(\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h^2}})-\frac{1}{3} h_1 (3 R^2-h_1^2) \tan ^{-1}(\frac{h}{\sqrt{-h_1^2-h^2+R^2}})+\frac{2}{3} R^3 \tan ^{-1}(\frac{h_1 h}{R \sqrt{-h_1^2-h^2+R^2}})\)

于是：
\(V = V(\sqrt{R^2-h_1^2}) - V(h_2)  \)
\(=\frac{\pi }{6}(R-h_1)^2 (2 R+h_1)+\frac{2h_1 h_2}{3}\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}-\frac{h_2}{3} (3 R^2-h_2^2) \cos ^{-1}(\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h_2^2}})+\frac{h_1}{3}(3 R^2-h_1^2) \tan ^{-1}(\frac{h_2}{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}})-\frac{2R^3}{3}  \tan ^{-1}(\frac{h_1 h_2}{R \sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}})\)

kastin

说实话，这种问题（包括那个圆环引力问题）不应该发在本版块，属于繁而不难的问题，似乎楼主自己懒不愿动手计算而已。

TSC999

先跟 3# 楼的管理员先生 wayne 对一下答案。我的计算式（过程以后再说哈）如下：
\(   V=\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+\frac{2}{3}R^3\arctan \frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}- \frac{1}{3}h_2(3R^2-h_2^2)\arctan \frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}-\frac{1}{3}h_1(3R^2-h_1^2)\arctan \frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}    \)
上式表面上跟 3# 的公式不一样，但是二者实质可能相同，需要代入同样的数据计算一下，看看结果是否相同。
假定 \( R=10,  h1=3,  h2=5  \)，代入上式计算，结果是不一样的。我的公式可能不对，wayne 的公式应该没有问题。
我需要检查一下自己的计算过程。

TSC999

现在计算结果完全相同了：

wayne

按理表达式对于$h_1, h_2$具有对称性。所以我的答案并不优美， 虽然可以花点功夫 转化成 对称形式。
楼主 有空 编辑一下你的解法吧。

TSC999

上面那个 V1 公式是多年前经过几个网友研究讨论的，我觉得可以将其收录到数学手册的体积计算公式当中。

TSC999

        为了求出残余球缺体积的积分表达式，建立直角坐标系，画出剖视图  \( 2 \)。

        用一系列垂直于横轴、到坐标原点的距离为  \( x \) 的平面剖切残余球缺，切面形状如图 \( 2 \) 右面的弓形。弓形面积 \( S(x) \) 是距离 \( x \) 的函数。由图  \( 2 \) 可知，所求的体积 \( V \) 等于：
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~V=\displaystyle \int_{h_1}^{\sqrt{R^2-h_2^2}}S(x)dx          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)   \)
        由图 \( 2 \) 可知，弓形面积 \( S(x) \) 等于扇形 \( OAB \) 的面积减去 \( △OAB \) 的面积，而扇形面积 \( S_1 \) 等于：
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_1=(R^2-x^2)θ=(R^2-x^2) \arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)   \)
        \( △OAB \) 的面积 \( S_2 \) 等于：
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_2=h_2 \sqrt{R^2-h_2^2-x^2}          ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)   \)
        弓形面积 \( S(x) \) 等于 \( S_1 \) 与 \( S_2 \) 之差：
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S(x)=(R^2-x^2) \arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}- h_2 \sqrt{R^2-h_2^2-x^2}        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)   \)
~~~~~~~~\( (4) \) 式代入 \( (1) \) 式得：
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~V=\displaystyle \int_{h_1}^{\sqrt{R^2-h_2^2}}[(R^2-x^2) \arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}- h_2 \sqrt{R^2-h_2^2-x^2}] dx=\\= \frac{1}{3}\{-2h_2x\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}+h_2(h_2^2-3R^2) \arctan{\frac{x}{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}}+2R^3\arctan{\frac{h_2x}{R\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}}+x(3R^2-x^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_2^2-x^2}}{h_2}}     \} \vert_{h_1}^\sqrt{R^2-h_2^2}=\\=\frac{1}{3}[0+h_2(h_2^2-3R^2)\frac{π}{2}+2R^3\frac{π}{2}+0]-\frac{1}{3}[-2h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+h_2(h_2^2-3R^2)\arctan{\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}+2R^3\arctan{\frac{h_1h_2}{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}+h_1(3R^2-h_1^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}] =\\=\frac{π}{6}h_2(h_2^2-3R^2)+\frac{π}{3}R^3+\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}-\frac{1}{3}h_2(h_2^2-3R^2)\arctan{\frac{h_1}{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}- \frac{2}{3}R^3\arctan{\frac{h_1h_2}{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}}+\frac{1}{3}h_1(h_1^2-3R^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}=\\=\frac{π}{6}h_2(h_2^2-3R^2)+\frac{π}{3}R^3+\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}-\frac{1}{3}h_2(h_2^2-3R^2)(\frac{π}{2}-\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}})- \frac{2}{3}R^3(\frac{π}{2}-\arctan{\frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}}+\frac{1}{3}h_1(h_1^2-3R^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}=\\=\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+\frac{2}{3}R^3\arctan{\frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}}-\frac{1}{3}h_2(3R^3-h_2^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}}-\frac{1}{3}h_1(3R^3-h_1^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)      \)

        上面这个公式 \( (5) \) 就是所求体积的最简表达式。

TSC999

\( V=\frac{2}{3}h_1h_2\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}+\frac{2}{3}R^3\arctan{\frac{R\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1h_2}}-\frac{1}{3}h_2(3R^3-h_2^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_1}}-\frac{1}{3}h_1(3R^3-h_1^2)\arctan{\frac{\sqrt{R^2-h_1^2-h_2^2}}{h_2}}  \)

        为验证公式的正确性，给定一组数据 \( R=10，h_1=3， h_2=5 \)，按上面公式用 mathematica 算得体积为 \( 152.3457742。 \)
您可以用其它公式或算法另行计算体积，看是否与上面结果一致。

1. R = 10; h1 = 3; h2 = 5;
   
2. V = 2/3 h1 h2 Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2] +
   
3.    2/3 R^3 ArcTan[(R Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2])/(h1 h2)] -
   
4.    1/3 h2 (3 R^2 - h2^2) ArcTan[Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2]/h1 ] -
   
5.    1/3 h1 (3 R^2 - h1^2) ArcTan[Sqrt[R^2 - h1^2 - h2^2]/h2 ];
   
6. N[V, 10]

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