把一个对称多项式配成三个非负项之和

TSC999

【例四】当 \(a, b, c>0\) 时，证明不等式  \( \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} ≥ \frac{3}{2} \)。
左边减右边的差是
\( -\frac{-2 a^3+a^2 (b+c)+a (b^2+c^2)-2 b^3+b^2 c+b c^2-2 c^3}{2 (a+b) (a+c) (b+c)}\)
将上式分子展开，结果为：\( 2 a^3-a^2 b-a^2 c-a b^2-a c^2+2 b^3-b^2 c-b c^2+2 c^3\)
将上式人工分成三组：
\( 2 a^3-a^2 b-a^2 c-a b^2-a c^2+2 b^3-b^2 c-b c^2+2 c^3=(a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3)+(a^3 - a^2 c - a c^2 + c^3)+(b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3)\)
对每一组分别进行因式分解，结果是：
\( (a^3 - a^2 b - a b^2 + b^3)+(a^3 - a^2 c - a c^2 + c^3)+(b^3 - b^2 c - b c^2 + c^3)=(a+b) (a-b)^2+(a-c)^2 (a+c)+(b-c)^2 (b+c)\)
所以原不等式的左边减去右边等于：
\(\frac{(a + b) (a - b)^2 + (c + a)  (c - a)^2 + (b + c) (b - c)^2}{ 2 (a +
   b) (b + c) (c + a) }  \)

zeroieme

我觉得，此类重组显著的特征是必然是$w(x-y)^2$模式，而且$w$是全正系数项多项式。所以三元多项式就是分三个乘积。
所以尝试求$(a-b)^2$商式并彻底展开并挑选其中正系数项。$(b-c)^2$与 $(a-c)^2$也如此操作。
接着仔细再分配，避免重叠项。使得到的各个乘积之和等于题目多项式。

TSC999

zeroieme 发表于 2021-2-23 22:35
我觉得，此类重组显著的特征是必然是$w(x-y)^2$模式，而且$w$是全正系数项多项式。所以三元多项式就是分三 ...

按照您这个思路，试试下面
【例五】当 \(a, b, c>0\)时，证明 \( \frac{1}{a^2 + 2 b c} +\frac{1}{b^2 + 2 c a} +\frac{1}{c^2 + 2 a b}≥\frac{2}{ab+bc+ca}\)。
把这个不等式的右边移到左边，通分，展开，分母为 \((2 a c+b^2) (a^2+2 b c) (2 a b+c^2) (a (b+c)+b c)\) 是一个正数。
分子展开后是一个对称多项式 \(2 a^4 b^2-4 a^4 b c+2 a^4 c^2-3 a^3 b^3+7 a^3 b^2 c+7 a^3 b c^2-3 a^3 c^3+2 a^2 b^4+7 a^2 b^3 c-6 a^2 b^2 c^2+7 a^2 b c^3+2 a^2 c^4-4 a b^4 c+7 a b^3 c^2+7 a b^2 c^3-4 a b c^4+2 b^4 c^2-3 b^3 c^3+2 b^2 c^4\)。
如何把分子配成三个非负因式的和，以证明原不等式成立？

先把上式中含有 \( 2 a^4 (b - c)^2，2 b^4(c - a)^2，2 c^4(a - b)^2 \) 的几项取出，余项为
\(  -3 b^3 c^3 - 2 a^2 b^2 c^2 + 7 a^3 b^2 c + 7 a^3 c^2 b - 3 a^3 c^3 -
2 a^2 b^2 c^2 + 7 b^3 a^2 c + 7 b^3 c^2 a - 3 a^3 b^3 -
2 a^2 b^2 c^2 + 7 c^3 a^2 b + 7 c^3 b^2 a\)。
再对上面余项处理，看看其中还有没有含  \(  (b - c)^2、(c - a)^2、(a - b)^2\) 的项。【未完待续】

补充内容 (2021-2-25 13:50):
问题在于，所期待的分解结果是否一定存在？ 如果存在，总能找到它。但是如果不存在呢？

zeroieme

睡了一晚，对怎么拼凑有了更清晰的思路。

$2 a^4 b^2-4 a^4 b c+2 a^4 c^2-3 a^3 b^3+7 a^3 b^2 c+7 a^3 b c^2-3 a^3 c^3+2 a^2 b^4+7 a^2 b^3 c-6 a^2 b^2 c^2+7 a^2 b c^3+2 a^2 c^4-4 a b^4 c+7 a b^3 c^2+7 a b^2 c^3-4 a b c^4+2 b^4 c^2-3 b^3 c^3+2 b^2 c^4$ 除以$(a-b)^2$

得商式$Q$
$Q$剔除负系数项，并把剩余项待定系数化： $s_1 c^4+s_2 b c^3$ 等等,乘上$(a-b)^2$，就是$(a-b)^2（s_1 c^4+s_2 b c^3 ……）$，为多项式$P1$
对$P1$ 执行a->b,b->c,c->a变量置换，为多项式$P2$
对$P1$ 执行a->c,c->b,b->a变量置换，为多项式$P3$
求待定系数方程令

$P1+P2+P3=2 a^4 b^2-4 a^4 b c+2 a^4 c^2-3 a^3 b^3+7 a^3 b^2 c+7 a^3 b c^2-3 a^3 c^3+2 a^2 b^4+7 a^2 b^3 c-6 a^2 b^2 c^2+7 a^2 b c^3+2 a^2 c^4-4 a b^4 c+7 a b^3 c^2+7 a b^2 c^3-4 a b c^4+2 b^4 c^2-3 b^3 c^3+2 b^2 c^4$  

重新排版，当然待定系数必须大于等于0.

TSC999

对于【例五】，找到了一个分解式，但是不符合要求：

\(2 a^4 b^2 - 4 a^4 b c + 2 a^4 c^2 - 3 a^3 b^3 + 7 a^3 b^2 c +
7 a^3 b c^2 - 3 a^3 c^3 + 2 a^2 b^4 + 7 a^2 b^3 c - 6 a^2 b^2 c^2 +
7 a^2 b c^3 + 2 a^2 c^4 - 4 a b^4 c + 7 a b^3 c^2 + 7 a b^2 c^3 -
4 a b c^4 + 2 b^4 c^2 - 3 b^3 c^3 + 2 b^2 c^4=a^2 (b - c)^2 (2 a^2 - 3 c a + b c) +
b^2 (c - a)^2 (2 b^2 - 3 a b + a c) +
c^2 (a - b)^2 (2 c^2 - 3 b c + a b) +
9 a b c (a^2 b + b^2 c + c^2 a )\)

分解结果由四项因式构成，但是前三项中，并不能确定每一项是否大于等于零。这是一个无效的分解。
对于 【例五】，很可能根本就不存在符合要求的分解。