无限多个人坐在同一张沙发上

KeyTo9_Fans

有一张长度为$\pi$²/6的沙发。

有n(n→∞)个人依次在这张沙发上随便找个位置坐下。

但后面来的人坐的位置不能与前面任何一个人坐的位置有重叠部分。

已知第i个人要占用1/i²的长度。

求证：无论前k个人坐在哪里，第(k+1)个人总能找到一段长度至少为1/(k+1)²的空位。

数学星空

$sum_{k=1}^{infty}1/k^2=pi^2/6$

mathe

挺有意思的结果，不过是一个比较容易的数学问题。
也就是要证明
${sum_{t=n+1}^{infty}1/{t^2}}/{n+1}>=1/{(n+1)^2}$
或者说
$sum_{t=n+1}^{infty}1/{t^2}>=1/{n+1}$

数学星空

要证明mathe 结论很容易:
$\sum_{t=n+1}^infty1/t^2>sum_{t=n+1}^{infty}1/{(t+1)*t}=sum_{t=n+1}^{infty}(1/t-1/{t+1})=1/{n+1}$

zgg___

恩，有意思的结果。

geslon

1楼与3楼命题等价吗？

geslon

另外，4楼的证明第一步的大于号（>）应该是不小于（>=）吧。毕竟是极限运算。

mathe

4#的结果是严格大于，这是正项级数求和，只要任意一项严格大于结果就是严格大于，同普通的极限不同

geslon

啊，疏忽，是是是。