求极限

wayne

已知数列，$a_0=1/\sqrt(2),a_n={1-\sqrt(1-a_{n-1}^2)}/{1+\sqrt(1-a_{n-1}^2)}$

求极限: $ \lim_{n->+oo}(4/a_n)^{2^{1-n}}$

wayne

这题没人感兴趣吗，俺觉得挺有意思的

mathe

这个数值计算很简单，就是不知道结果是不是可以表示成特殊值。

wayne

3# mathe
嗯，收敛相当的快

wiley

提供思路:

数值上看, 应该是要证 $\lim_{n->\infty}-{\ln(a_n)}/{2^n}=\pi/2$ .
(所以原极限是 $e^\pi$ , 不过分子上的4应该是多余的)

如果可以找到 ${\ln(a_n)}/{2^n}$ 的递推式, 然后求不动点?

wayne

5# wiley
，是这个值！！

==================
我变换了一下原式子，$1/a_n=1/2(\sqrt{a_{n+1}}+1/{\sqrt{a_{n+1}}})$

wayne

继续变换：
${1-a_n}/{1+a_n}=({1-\sqrt{a_{n+1}}}/{1+\sqrt{a_{n+1}}})^2$
设$f(x)={1-x}/{1+x}$
那么，就有$ \sqrt{f(a_n)}=f(\sqrt{a_{n+1}})$

kastin

有 `1-\tanh^2 x=\mathrm {sech}^2\,x`，及 `\D\frac{1-\mathrm {sech}\,x}{1+\mathrm {sech}\,x}=\tanh^2\frac x2`，剩下怎么凑？