等式求证

BeerRabbit

证明：

love_meimei

sunwukong

设

$f(x)=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}C_n^ix^i}{i}$

则

$f(0)=0$

$f'(x)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}C_n^ix^{i-1}$
$=1/(-x)\sum_{i=1}^n(-1)^iC_n^ix^i$
$=1/(-x)(sum_{i=0}^nC_n^i(-x)^i-1)$
$=\frac{(1-x)^n-1}{(1-x)-1}$
$=\sum_{i=0}^{n-1}(1-x)^i$

所以
$f(x)=C+\int\sum_{i=0}^{n-1}(1-x)^idx$
$=C-\sum_{i=0}^{n-1}\int(1-x)^id(1-x)$
$=C-\sum_{i=0}^{n-1}(1-x)^{i+1}/(i+1)$
$=C-\sum_{i=1}^n(1-x)^i/i$

由

$f(0)=0 $

求得待定系数

$C=\sum_{i=1}^n1/i$

所以

$\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}C_n^i}{i}=f(1)=\sum_{i=1}^n1/i$

mathe

也可以
$a(n)=\sum_{i=1}^n {(-1)^(i+1)C_n^i}/i=\sum_{i=1}^n {(-1)^(i+1)(C_{n-1}^i+C_{n-1}^(i-1))}/i$
所以
$a(n)=a(n-1)+\sum_{i=1}^n{(-1)^(i+1)*(n-1)!}/{(n-i)!(i-1)!i}=a(n-1)+1/n\sum_{i=1}^n(-1)^(i+1)*C_n^i=a(n-1)+1/n$