圆锥曲线过定点弦定值问题的猜想

数学星空

今天，我在书店看到了甘志国出版的新书《平面解析几何》中提到：

一个猜想A：设\(\alpha\) 是已知的非零实数，对于圆锥曲线（指圆，椭圆，双曲线或抛物线）\(\varGamma\),若存在定点\(M(s,t)\) 使过点\(M\)能作曲线\(\varGamma\)的三条斜率存在的弦AB满足：

\(\frac{1}{|AM|^\alpha}+\frac{1}{|BM|^\alpha}\)为定值，则：

（1）\(\alpha=1\)或\(2\)

（2）定点\(M（s,t）\)在曲线\(\varGamma\)的对称轴上；

（3）过定点\(M(s,t)\)作曲线\(\varGamma\),的任一弦\(AB\)(包括斜率不存在的情形)也满足 \(\frac{1}{|AM|^\alpha}+\frac{1}{|BM|^\alpha}\)为定值（当曲线\(\varGamma\)是双曲线时，点\(A,B\)在双曲线同一支上）



一个猜想B：设\(\alpha\) 是已知的非零实数，对于圆锥曲线（指圆，椭圆，双曲线或抛物线）\(\varGamma\),若存在定点\(M(s,t)\) 使过点\(M\)能作曲线\(\varGamma\)的三条斜率存在的弦AB满足：

\(|\frac{1}{|AM|^\alpha}-\frac{1}{|BM|^\alpha}|\)为定值，则：

（1）\(\alpha=1\).

（2）曲线\(\varGamma\)是中心或焦点。

（3）过定点\(M(s,t)\)作曲线\(\varGamma\),的任一弦\(AB\)(包括斜率不存在的情形)也满足 \(|\frac{1}{|AM|^\alpha}-\frac{1}{|BM|^\alpha}|\)为定值（当曲线\(\varGamma\)是双曲线时，点\(A,B\)在双曲线两支上）