从完全四点形到锐角三角形

mathe

凹四边形很好出来，我们只要把凹进去那部分沿着对角线翻转出去，于是除了一条对角线长度变化，其它长度都不变。另外需要注意的是翻转前后两对角线夹角不变，而四边形面积为对角线乘积乘夹角正弦的一半，显然翻出去后面积变大，所以对角线变长

mathe

如果一个胡整三角形的面积还是整数，我们称其为大三元；如果大三元对应的四点形所有的边和面积还都是整数，我们就称之为大四喜。大三元好找，谁来胡一把大四喜？

mathe

发现两个问题:1,矩形形状的大四喜非常容易胡，我们应该予以淘汰。 2.胡整三角形对应的四点形可以是空间的，所以我们应该把这种情况下要求面积为整数改为体积为正整数，满足此条件的可称之为地胡。如果这个四点形每个面的面积还是整数，可称之为天胡。

hujunhua

我原只限于来自整数平面四点形的胡整三角形，因为六个边长有个天然约束，不像空间四面体那样，只要符合三角不等式，随便六个整数棱长都行。

mathe上面整的这个天胡就更难了吧，估计未必有。

ps: 我还考虑过允许六边长度为二次代数整数，比如12=3+根2，34=3-根2。

hujunhua

wayne 发表于 2017-5-3 05:04
mathe的两个引理都有参考链接:
http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://mathworld. ...

那个四平方和引理不论凹凸皆成立， 而且对空间四面体都普遍成立.
奇妙的是放在空间四面体中还有一个简明的几何证明。

如图，把四面体A'BC'D的各棱都复制一个，以中点为基点平移到对棱中点处，八个顶点正好构成一个平行六面体ABCD-A'B'C'D'，套住原四面体。
所谓对棱，就是六面体各面上的对角线。所谓对棱中点的连线长，就等于平行六面体的棱长（比如EE'=AA').
由于平面六面体的各面均为平行四边形，故有
`A'C'^2+BD^2=2(AD^2+AB^2) \\
A'B^2+C'D^2=2(AA'^2+AB^2) \\
A'D^2+BC'^2=2(AA'^2+AD^2)`
以上任意两式相加后用剩下的式子代入都能得到四边形的四平方和定理，比如前两式相加后为
`A'C'^2+BD^2+A'B^2+C'D^2=2(AD^2+AA'^2）+4AB^2`
将第3式代入即得
`A'C'^2+BD^2+A'B^2+C'D^2=A'D^2+BC'^2+4AB^2`

现在知道那个中点连线长的平方为什么是4倍了，因为在平行六面体的12条棱中，这样的棱有 4 条。