诡异的椭圆定理

数学星空

根据129#附件中的说明：
A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions
一书中应该有更详细的描述，不知有谁能在网络中搜集相关的资料，并下载后与大家分享！

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https://archive.org/download/cu3 ... u31924001521065.pdf
这好像是第二卷，里面的结果和处理方式都很专业啊，不知第一卷是否要简单些。找了一下，似乎没有发现本贴的相关结果啊

数学星空

关于共焦点椭圆的计算，129#资料中有部份说明，但是没有完全理解，具体见下面截图


有谁给出具体的计算说明？

mathe

看来应该很复杂，还是直接分解为三个命题证明简单:
i)定长绳套在光滑曲线上拉紧画出的曲线任何一点法向平分绳子张开的角(102#)
ii)椭圆外一点向椭圆做两切线，两切线分别和点到相应方向焦点连线的夹角相等
iii)如果光滑曲线任何一点法向平分它到两个定点夹角，那么它必然是以这两个定点为焦点的椭圆

数学星空

根据133#的结论：
我们设外椭圆（即P点的轨迹）为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,内椭圆为$x^2/(a^2-t)+y^2/(b^2-t)=1$
则$det(A+x*B)=(x/a^2+1/(a^2-t))*(x/b^2+1/(b^2-t))*(-1-x)$
$sqrt(det(A+x*B))=I/sqrt((a^2-t)(b^2-t))*(s_0+s_1*x+s_2*x^2+s_3*x^3+s_4*x^4+....)$
$s_0=1$
$s_1=((-a^2-b^2)*t+3*a^2*b^2)/{2ab}$
$s_2=((-a^4+2*a^2*b^2-b^4)*t^2+(-2*a^4*b^2-2*a^2*b^4)*t+3*a^4*b^4)/{8a^3b^3}$
$s_3=((-a^6+a^4*b^2+a^2*b^4-b^6)*t^3+(a^6*b^2-2*a^4*b^4+a^2*b^6)*t^2+(a^6*b^4+a^4*b^6)*t-a^6*b^6)/{16a^5b^5}$
$s_4=((-5*a^8+4*a^6*b^2+2*a^4*b^4+4*a^2*b^6-5*b^8)*t^4+(12*a^8*b^2-12*a^6*b^4-12*a^4*b^6+12*a^2*b^8)*t^3+(-6*a^8*b^4+12*a^6*b^6-6*a^4*b^8)*t^2+(-4*a^8*b^6-4*a^6*b^8)*t+3*a^8*b^8)/{128a^7b^7}$
..............................
根据133#的结论：
$n=3,p=1,s_2=0$即$(-a^4+2*a^2*b^2-b^4)*t^2+(-2*a^4*b^2-2*a^2*b^4)*t+3*a^4*b^4=0$，解得$t={(-a^2-b^2+2*sqrt(a^4-a^2*b^2+b^4))*b^2*a^2}/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)$

$n=4,p=2,s_3=0$即$(-a^6+a^4*b^2+a^2*b^4-b^6)*t^3+(a^6*b^2-2*a^4*b^4+a^2*b^6)*t^2+(a^6*b^4+a^4*b^6)*t-a^6*b^6=0$解得$t={a^2*b^2}/(a^2+b^2)$

$n=5,p=2,s_3^2=s_2*s_4$即
$(-a^12+6*a^10*b^2-15*a^8*b^4+20*a^6*b^6-15*a^4*b^8+6*a^2*b^10-b^12)*t^6+(-6*a^12*b^2-14*a^10*b^4+20*a^8*b^6+20*a^6*b^8-14*a^4*b^10-6*a^2*b^12)*t^5+$
$(29*a^12*b^4-4*a^10*b^6-50*a^8*b^8-4*a^6*b^10+29*a^4*b^12)*t^4+(-36*a^12*b^6+36*a^10*b^8+36*a^8*b^10-36*a^6*b^12)*t^3+(9*a^12*b^8-34*a^10*b^10+9*a^8*b^12)*t^2+$
$(10*a^12*b^10+10*a^10*b^12)*t-5*a^12*b^12=0$

$n=6,p=3,s_4^2=s_3*s_5$即
$-(a^4*b^4+2*a^4*b^2*t-2*a^2*b^4*t-3*a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2+b^4*t^2)*(a^2*b^2-a^2*t-2*a*b*t-b^2*t)*(a^2*b^2-a^2*t+2*a*b*t-b^2*t)*(a^4*b^4-2*a^4*b^2*t+2*a^2*b^4*t+a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2-3*b^4*t^2)*$
$(3*a^4*b^4-2*a^4*b^2*t-2*a^2*b^4*t-a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2-b^4*t^2)＝0$解得$t=({ab}/{a+b})^2$

$n=7,p=3,s_4^3-s_4(2s_3*s_5+s_2*s_6)+s_2s_5^2+s_6*s_3^2=0$即
$(a^24-12*a^22*b^2+66*a^20*b^4-220*a^18*b^6+495*a^16*b^8-792*a^14*b^10+924*a^12*b^12-792*a^10*b^14+495*a^8*b^16-220*a^6*b^18+66*a^4*b^20-12*a^2*b^22+b^24)*t^12+$
$(12*a^24*b^2+52*a^22*b^4-188*a^20*b^6-260*a^18*b^8+1208*a^16*b^10-824*a^14*b^12-824*a^12*b^14+1208*a^10*b^16-260*a^8*b^18-188*a^6*b^20+52*a^4*b^22+12*a^2*b^24)*t^11+$
$(-118*a^24*b^4+44*a^22*b^6+962*a^20*b^8-752*a^18*b^10-3404*a^16*b^12+6536*a^14*b^14-3404*a^12*b^16-752*a^10*b^18+962*a^8*b^20+44*a^6*b^22-118*a^4*b^24)*t^10+$
$(364*a^24*b^6-756*a^22*b^8-1680*a^20*b^10+5936*a^18*b^12-3864*a^16*b^14-3864*a^14*b^16+5936*a^12*b^18-1680*a^10*b^20-756*a^8*b^22+364*a^6*b^24)*t^9+$
$(-441*a^24*b^8+2184*a^22*b^10-700*a^20*b^12-5704*a^18*b^14+9322*a^16*b^16-5704*a^14*b^18-700*a^12*b^20+2184*a^10*b^22-441*a^8*b^24)*t^8+$
$(-168*a^24*b^10-3192*a^22*b^12+3928*a^20*b^14-568*a^18*b^16-568*a^16*b^18+3928*a^14*b^20-3192*a^12*b^22-168*a^10*b^24)*t^7+$$(1260*a^24*b^12+2520*a^22*b^14-3756*a^20*b^16-48*a^18*b^18-3756*a^16*b^20+2520*a^14*b^22+1260*a^12*b^24)*t^6+(-1800*a^24*b^14-744*a^22*b^16+2544*a^20*b^18+$
$2544*a^18*b^20-744*a^16*b^22-1800*a^14*b^24)*t^5+(1311*a^24*b^16-444*a^22*b^18-1734*a^20*b^20-444*a^18*b^22+1311*a^16*b^24)*t^4+(-484*a^24*b^18+516*a^22*b^20+$
$516*a^20*b^22-484*a^18*b^24)*t^3+(42*a^24*b^20-196*a^22*b^22+42*a^20*b^24)*t^2+(28*a^24*b^22+28*a^22*b^24)*t-7*a^24*b^24＝0$

$n=8,p=4,s_5^3-s_5*(2s_4*s_6+s_3*s_7)+s_3*s_6^2+s_4*s_7^2=0$即
$(a^30-5*a^28*b^2-11*a^26*b^4+159*a^24*b^6-595*a^22*b^8+1199*a^20*b^10-1375*a^18*b^12+627*a^16*b^14+627*a^14*b^16-1375*a^12*b^18+1199*a^10*b^20-595*a^8*b^22+159*a^6*b^24-11*a^4*b^26-5*a^2*b^28+b^30)*t^15+$
$(-5*a^30*b^2+46*a^28*b^4-167*a^26*b^6+236*a^24*b^8+275*a^22*b^10-1870*a^20*b^12+3993*a^18*b^14-5016*a^16*b^16+3993*a^14*b^18-1870*a^12*b^20+275*a^10*b^22+236*a^8*b^24-167*a^6*b^26+46*a^4*b^28-5*a^2*b^30)*t^14+$
$(-11*a^30*b^4-167*a^28*b^6+718*a^26*b^8-1474*a^24*b^10+3215*a^22*b^12-5245*a^20*b^14+2964*a^18*b^16+2964*a^16*b^18-5245*a^14*b^20+3215*a^12*b^22-1474*a^10*b^24+718*a^8*b^26-167*a^6*b^28-11*a^4*b^30)*t^13+$
$(159*a^30*b^6+236*a^28*b^8-1474*a^26*b^10+60*a^24*b^12+625*a^22*b^14+8920*a^20*b^16-17052*a^18*b^18+8920*a^16*b^20+625*a^14*b^22+60*a^12*b^24-1474*a^10*b^26+236*a^8*b^28+159*a^6*b^30)*t^12+$
$(-595*a^30*b^8+275*a^28*b^10+3215*a^26*b^12+625*a^24*b^14-14990*a^22*b^16+11470*a^20*b^18+11470*a^18*b^20-14990*a^16*b^22+625*a^14*b^24+3215*a^12*b^26+275*a^10*b^28-595*a^8*b^30)*t^11+$
$(1199*a^30*b^10-1870*a^28*b^12-5245*a^26*b^14+8920*a^24*b^16+11470*a^22*b^18-28948*a^20*b^20+11470*a^18*b^22+8920*a^16*b^24-5245*a^14*b^26-1870*a^12*b^28+1199*a^10*b^30)*t^10+$
$(-1375*a^30*b^12+3993*a^28*b^14+2964*a^26*b^16-17052*a^24*b^18+11470*a^22*b^20+11470*a^20*b^22-17052*a^18*b^24+2964*a^16*b^26+3993*a^14*b^28-1375*a^12*b^30)*t^9+$
$(627*a^30*b^14-5016*a^28*b^16+2964*a^26*b^18+8920*a^24*b^20-14990*a^22*b^22+8920*a^20*b^24+2964*a^18*b^26-5016*a^16*b^28+627*a^14*b^30)*t^8+$
$(627*a^30*b^16+3993*a^28*b^18-5245*a^26*b^20+625*a^24*b^22+625*a^22*b^24-5245*a^20*b^26+3993*a^18*b^28+627*a^16*b^30)*t^7+$
$(-1375*a^30*b^18-1870*a^28*b^20+3215*a^26*b^22+60*a^24*b^24+3215*a^22*b^26-1870*a^20*b^28-1375*a^18*b^30)*t^6+(1199*a^30*b^20+275*a^28*b^22-1474*a^26*b^24-1474*a^24*b^26+275*a^22*b^28+$
$1199*a^20*b^30)*t^5+(-595*a^30*b^22+236*a^28*b^24+718*a^26*b^26+236*a^24*b^28-595*a^22*b^30)*t^4+(159*a^30*b^24-167*a^28*b^26-167*a^26*b^28+159*a^24*b^30)*t^3+$
$(-11*a^30*b^26+46*a^28*b^28-11*a^26*b^30)*t^2+(-5*a^30*b^28-5*a^28*b^30)*t+a^30*b^30=0$

注：可以验证$n=3,4,6$求得的结果与http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... p;extra=&page=5 的结果是一样的
$n=3$时，$m=a*{sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)-b^2}/{a^2-b^2}$,即$t=a^2-m^2={(-a^2-b^2+2*sqrt(a^4-a^2*b^2+b^4))*b^2*a^2}/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)$
$n=4$时，$m=a^2/sqrt(a^2+b^2)$,即$t=a^2-m^2={a^2*b^2}/(a^2+b^2)$
$n=6$时，$m=a*sqrt(a^2+2*a*b)/{a+b}$,即$t=a^2-m^2=({ab}/{a+b})^2$

至此，对于椭圆内接$N$边形最大周长问题已有更简便的计算方法。

creasson

zuijianqiugen

kastin 发表于 2013-12-10 10:36
由于楼主的问题是在一种物理背景下的问题（运动学问题），故下面给出一种运动学上的证明。

椭圆的切线有 ...

此种解法是有问题的：AP减少的长度=BP增加的长度，说明AP+PB的长度不变。实际上AP+PB的长度是变化的。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2013-12-10 10:36
由于楼主的问题是在一种物理背景下的问题（运动学问题），故下面给出一种运动学上的证明。

椭圆的切线有 ...

参见《光滑凸闭图形的拉动原理》
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201422194452202/

zuijianqiugen

mathe 发表于 2013-12-30 07:07
看来应该很复杂，还是直接分解为三个命题证明简单:
i)定长绳套在光滑曲线上拉紧画出的曲线任何一点法向平 ...

此贴有高度地慨括性，其中第一个命题是重点和难点。参见《光滑凸闭图形的拉动原理》
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201422194452202/

hejoseph

A Treatise on the Analytic Geometry of Three Dimensions的两卷电子书谁能提供？链接地址不能下载了