曲率随弧长均匀变化的平面曲线

wayne

画出上面的参数方程的图（有意把$\theta$放大了范围），简直太有型了！



受到启发，咱再把角度范围放大，终于得到全景图了：

wayne

莫非这就是 双扭线 的姊妹精华篇吗

hujunhua

但是“双头螺线”（Two-end Spiral）这个名字更容易让我想到下面的“双臂螺线”（真名叫做连锁螺线）：


因为 end 容易理解为线头，有两个线头的螺线多了，但是有两个螺的调皮蛋就不多了。

hujunhua

将得到的  \(s=\sqrt{2\lambda\theta}\) 代入公式
\[\begin{cases}
\dif x=\cos\theta\cdot\dif s\\
\dif y=\sin\theta\cdot\dif s
\end{cases}\]
直接可得参数方程
\[\begin{cases}
\D\dif x=\cos\frac{s^2}{2\lambda}\cdot\dif s\\\\
\D\dif y=\sin\frac{s^2}{2\lambda}\cdot\dif s
\end{cases}\]
我在得到 $s=\sqrt{2\lambda\theta}$ 后因为已经可得到数值曲线，沾沾自喜，错过了。

wayne

hujunhua 发表于 2013-8-27 23:30
将得到的 代入公式

太简洁了，10#简直相形见拙阿
===
其实我推导的时候，最初是消元，想得到一个微分方程的。
谁知，导着导着就脱离了初衷，意外的走参数方程这条路了。

意外得解，沾沾自喜，却没回头重新审视我的杂乱的推导过程，以至于错过了这么好的一道风景阿，汗死了。

wayne

hujunhua 发表于 2013-8-27 23:30
将得到的 代入公式

根据14#的参数方程，我们可以求出无穷收敛的两个羊角点的坐标。

1. Integrate[cos(s^2/(2 \[Lambda])),{s,0,\[Infinity]},Assumptions->\[Lambda]>0]

复制代码

${\sqrt{\lambda*\pi}/2,\sqrt{\lambda*\pi}/2}$，${-\sqrt{\lambda*\pi}/2,-\sqrt{\lambda*\pi}/2}$

云梦

如果是三维立体的不知道会是怎样美丽的图形。

Buffalo

这个叫羊角螺线（clothoid）、科纽螺线 Cornu spirals或者欧拉螺线，和直射平行光在直边平面后的衍射相关，两个积分叫菲涅耳积分。

wayne

关于 各种 代数曲线. 我曾经google到一本书, <A catalog of special plane curves>
并且 调用了一切资源,想下载到这本书.都没成功.
最后还是通过曲折的路径,由一位国外名校的朋友帮忙弄到的.
感兴趣的话，可以通过下面的百度网盘连接下载。
http://pan.baidu.com/share/link? ... th=%2Fpublic%2Fmath
双扭线的方程和性质也在这本书里面哦~~

书的目录：

    1 Chapter 1: Properties of Curves
        1.1 Coordinate Systems
        1.2 Angles
        1.3 Changes Between Coordinate Systems
        1.4 Changes Within Coordinate Systems
        1.5 Distances
        1.6 Curve
        1.7 Curvature
        1.8 Mensuration
        1.9 Geometry
    2 Chapter 2: Types of Derived Curves
    3 Chapter 3: Conics and Polynomials
    4 Chapter 4: Cubic Curves
    5 Chapter 5: Quartic Curves
    6 Chapter 6: Algebraic Curves of High Degree
    7 Chapter 7: Transcendental Curves

很是怀念大学的时候, 想当初提供免费下载盗版电子书的网站可真多,现在都物是人非了.

数学星空

呵，我也推荐一个非常值得大家收藏下载的资料库：
http://iask.sina.com.cn/u/1783297201/ish?folderid=87595