计算与证明

数学星空

计算器正和代数谈论一些数学上的问题。多年来，代数一直占统治地位，人们用代数的方法解决问题。但是近年来，人们越来越青睐于使用计算器解决问题，这使得计算器十分得意，它自认为比代数的方法有很大的优越性，此时它正向代数吹嘘它的新发现。

计算器：嘿，代数！你注意到了吗？从一个非常大的大数中减去1，这个数并不变化哎！

代  数：怎么会呢？

计算器：过来，看我的屏幕！

计算器输入了一个自己喜爱的数字32，然后按了几次“平方键”，得到了1024、1048576、……、1.099511628×1012。

计算器：这绝对是一个大数。现在看当减去1时将会有什么变化！

正如计算器所说，即使做减1的动作好几次，那个大数也没有任何的变化。难道计算器说的果真是对的吗？代数想了想后认为自己发现了其中的问题。

代  数：你在如何取近似数的问题上没有搞清楚！让我来告诉你吧，首先你用字母a来表示任意数。

提到字母的事计算器就头疼，代数总是爱卖弄字母的把戏。确实，价格便宜的计算器不能处理字母运算的问题，但是我们今天的这个计算器可以。

代  数：你在听我说吗？

计算器：是的，你要说什么？

代  数：我问你是不是-1比0还小？

计算器：是的。

代  数：那好。在不等式-1＜0两端同时加上a，就得到a-1＜a，也就是a-1永远小于a，不管a是什么数。你所说的不过是当a非常大的时候，a-1近似地等于a。

计算器感觉有点不好意思，它又想起了另外的一个问题。

计算器：好吧，那你知道
有多少个根吗？

这下可真的问到了代数的痛处，因为代数一时没有办法解决这样的问题，代数显现出一脸的无可奈何。

代  数：我不知道。你说有多少个？

计算器对代数的回答有点失望，它不知道代数是对它的问题没有兴趣还是因为回答不上来而不高兴。不管怎样，计算器的精神来了，他开始迅速地按键。

计算器：嘿，看着我的屏幕，我现在就开始做这两个函数的图象。

很快，函数和的图象出现在计算器的屏幕上。函数的图象看上去好象两条竖直的直线，而函数的图象是一条弯曲地从左到右逐渐升高的曲线，看上去图象有两个交点，因此有两个根。计算器又对屏幕的显示进行了一些调整，然后开始移动光标对准了左边的一点交点，这时屏幕显示出这个交点的横坐标，x=-0.99314。

计算器：快看，这个根近似地等于-0.99314!

利用同样的方法，计算器很快又得到了右边的交点的横坐标x=1.007。

计算器：不会再有其他的根了。因为的图象几乎是垂直线，而的图象上升得如此之慢，它永远也追不上上升的速度！

计算器的身体向后仰着，掩饰不住内心的沾沾自喜，这时代数正在做认真的思考。

代  数：也就是说，你假设当x＞1.007时，永远成立。现在让我们将不等式的两端同时开100次方，这时我们应该得到，对吗?

计算器：那当然！

代  数：好，现在我来向你证明不永远成立。我们把一些相对较大的数代入不等式，比如1000，这时不等式的左边是1000，右边是210=1024。啊哈！1000不大于1024，这说明不永远成立。进一步，如果你知道一点微积分的知识的话，我可以证明给你：从这以后，永远大于x100！

计算器显得有些难为情，他本来是想要证明自己比代数更高明，但是到头来却让代数搞得自己很“业余”。一定要挽回自己的面子，计算器决定提一个他们两个都不能解决的问题。

计算器：嘿，代数！你知道$2005^2006$和$2006^2005$哪个数大一些吗？

代  数：这确实是两个非常大的数！你准备把它们算出来吗？

对于代数的这句话，计算器尽了最大的努力才忍住没有笑出声来。他恢复了常态并进行了回答。

计算器：计算这样大的数我会溢出的。

代  数：我想可能底数大的数应该大一些。为了证实这一点，让我们假设$2005^2006<2006^2005$。

下面我们运用一些代数的知识来进行计算。

首先

        $2005^2005×2005=2005^2006 $

根据假设

$2005^2006<2006^2005 $

上式两端同被$2005^2005$去除，得

    虽然经过了化简，但右边的数对于我来说还是太大，可对于你来说这只不过是小菜一碟，为什么你不算算看？

计算器有点受感动，代数居然还请他来共同分享成果。很快，计算器得到：

$(2006/2005)^2005≈2.7176$。

代  数：2005不小于2.7176！也就是说，不等式是错误的！也就是说我的假设是错误的。由此可知$2005^2006>2006^2005$。

至此，计算器似乎明白了一个道理：如果他们合作的话，他们就可以解决单独一个人不能解决的问题。

计算器：我有一个想法，为什么我们今后不联起手来？首先你把问题简化到我可以处理的数字，然后我把计算的结果首先返回给你，然后再公布于众。

代  数：这太好了！让我们把这个想法告诉孩子们。
本文转自诺贝尔学术资源网 http://www.i-nobel.com/bbs,☆文献互助、学术交流和学术资源

风云剑

最好编辑一下，2005^2006和2006^2005，你现在那个次方看不出来了还有其他一些地方估计是少了图，看不太明白了。

shshsh_0510

我编辑了一下.
叫 证明 和 计算 可能更合适

数学星空

呵呵,多谢两位,那就依SHSHSH_0510的吧,主要是这是转载过来的哟...