欧拉的天才巧证,我们可以挑战他吗?

数学星空

我们知道,欧拉用很巧妙的代数方法分解了\(F_5=2^{2^5}=2^{32}+1=641*6700417\)

现描述如下:

  记\(a=2^7=128, b=5\)

  则:\( 2^4=3b+1=(a-b^3)b+1=ab-b^4+1\)

    \(\begin{split}2^{32}+1&=2^4a^4+1=(ab-b^4+1)a^4+1\cr\cr
                     &=(1+ab)a^4+(1-a^4b^4)\cr\cr
                     &=(1+ab)[a^4+(1+a^2b^2)(1-ab)]\cr\cr
                     &=641*6700417\end{split}\)

现在我们利用计算机可以知道 \(F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1=274177*67280421310721\)

我们可以利用欧拉同样的方法分解出 \(F_6=2^{64}+1\) 吗??

   (注:很显然,需要构造 \(a=2^8=256,  b=\frac{274177-1}{256}=1071\)的代数式,如何找到一个关系式使\(a^8+1=(1+ab)M(a,b)\)

         \(M(a,b)\)是待求的多项式)

nlrte13

老欧真是天才啊，感叹ing.......

gxqcn

欧拉——是我非常崇拜的多产数学家。

我们现在去做，
有点类似于先射箭再画靶，
但数与量如何巧妙替换，
要做到“自圆其说”、浑然天成，
也是很不容易的。

期待高手出现。

无心人

巧则巧矣
但有多少通用性呢?

呵呵
我不认为有更好的方法

shshsh_0510

1# 数学星空
这法子要是总灵，欧拉还能把其他那些费尔马素数留给别人？

对于
$2^64 = (a*b-b^x+1)*a^x$ 型的，容易验证是没有整数解的

282842712474

641并不大，如果一个不相信费马猜想的人用试除法，不久也能够验算出来

数学星空

呵呵,shshsh_0510 ,你也不要把欧拉想的这么神哟...
首先他没有确定是否为素数,再说2^64+1可不是小数,分解谈何容易...
当然,我们可以肯定既然是合数,肯定至少一种代数分解的方法,但2^64+1分解的形式不一定就是(a*b-b^x+1)*a^x呵,例如还有a^x*[((a*b)^(2m+1)+1-b^x]也是可以的,但还可能有其它的分解形式....
这考察的就是我们的数学直觉和构造能力...

shshsh_0510

欧拉应该不是神，但他做不出的，如果不是因为知识的历史局限性的原因的话，那我基本上不行

数学星空

我想如果欧拉生活在我们的时代,那不知会有多少惊人的发现,数学会发展成什么状态...
尤其是像印度的天才数学奇才 拉马努金（1887～1920）Ramanujan，Srinivasa Aaiyangar
仿佛就是神的化身

nlrte13

我比较欣赏发现群论那个天才数学家伽罗华^^
可惜为了一个女孩和别人决斗导致英年早逝啊……