一道形式比较优美的数论证明题,1^n+2^n+…+(p-1)^n=0 (mod p)

wsc810

数学中国以前有一片帖子是说1^n+2^n+…+(p-1)^n=0(mod p)其中，p是素数，n不是p-1的倍数。当n是负整数的时候也成立。该性质很奇特吧，谁会证。

hujunhua

素数p总有$\varphi (p-1)$个原根，任取一个原根$g$构造剩余系，并记$h\equiv g^n$, 立得
左边$\equiv 1+h+h^2+...+h^(p-2)\equiv {h^(p-1)-1}/{h-1}\equiv 0 (mod p)$

wsc810

没太看明白楼上的证明，这里是对前m项的n次方求和，不是等比数列求和啊。

hujunhua

那就是你还不太懂“原根”这个概念及其应用。帮你搜了一下，可以去看看豆丁网的一个共享文档：
http://www.docin.com/p-1676986.html#documentinfo

阅读的时候请注意，很多地方的“七”应该是斜体希腊字母δ，表示指数。可能是字符集不同的缘故。

wsc810

n是负数的时候怎么证明？

hujunhua

2#的证明适用于n是负数的情况啊。

gxqcn

n为负整数的时候（$(p-1)!|(-n)$）也是成立的，2#的证明是普适的。

medie2005

2+1/12=0（mod5）？
不对吧？
==========
25/12 =0 mod 5

gxqcn

当 n=-1 时，那是“模逆”，而不是简单的“倒数”。
比如说 $3^(-1)=1/3-=(1+5)/3=2 (mod 5)$
此时左边=1+3+2+4=10

Lwins_G

以下同余式均在$F_p$上进行.

由有限域上的代数基本定理知道当$p \nmid n$时总存在$p \nmid t, t^n \nequiv 1$.
令$S=1^n+2^n+\cdots+(p-1)^n$,
则$ t^n S = (1t)^n+(2t)^n + \cdots + ((p-1)t)^n \equiv 1^n+2^n+\cdots+(p-1)^n = S$.
这导致$ (t^n-1)S \equiv 0 \rightarrow S \equiv 0$.

补充内容 (2013-11-2 00:49):
笔误，$p \nmid n$应改为$ p - 1 \nmid n$。