不等式之五

数学星空 · 发表于 2010-3-20 22:19:03

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Let a,b,c,d be positive real numbers,Prove that

${a^2-bd}/{b+2c+d}+{b^2-ac}/{c+2d+a}+{c^2-db}/{d+2a+b}+{d^2-ac}/{a+2b+c}>=0$

数学星空 · 发表于 2010-3-20 22:20:22

注：此不等式也出自于越南的一位不等式大师之手！

本因坊算帐 · 发表于 2010-3-20 22:56:32

记
$a+c=2s$
$b+d=2t$
则
$2{(a^2-bd)/(b+2c+d)+(b^2-ac)/(c+2d+a)+(c^2-db)/(d+2a+b)+(d^2-ac)/(a+2b+c)}$

$>=(a^2-t^2)/(c+t)+(b^2-s^2)/(d+s)+(c^2-t^2)/(a+t)+(d^2-s^2)/(b+s)$

$={(a^2-t^2)/(c+t)+t-c}+{(b^2-s^2)/(d+s)+s-d}+{(c^2-t^2)/(a+t)+t-a}+{(d^2-s^2)/(b+s)+s-b}$

$=(a^2-c^2)/(c+t)+(b^2-d^2)/(d+s)+(c^2-a^2)/(a+t)+(d^2-b^2)/(b+s)$

$={(a^2-c^2)/(c+t)+(c^2-a^2)/(a+t)}+{(b^2-d^2)/(d+s)+(d^2-b^2)/(b+s)}$

$={(a+c)(a-c)^2}/{(c+t)(a+t)}+{(b+d)(b-d)^2}/{(d+s)(b+s)}$

$>=0$

数学星空 · 发表于 2010-3-21 08:45:22

现提供大师的解法（显然没有楼上的简洁）
截图1269132213.png

wiley · 发表于 2010-3-24 12:53:53

本帖最后由 wiley 于 2010-3-24 12:56 编辑

3# 本因坊算帐
nice proof!

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[讨论] 不等式之五

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