一道不定方程问题

tian27546 · 发表于 2011-2-27 09:43:43

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求所有的素数P,使得P^2-P+1是完全立方数，我已经知道是P=19是一个其他的还未发现我估计这个很简单但是很难严格说明

mathe · 发表于 2011-2-27 20:03:06

限定素数还是比较好办的，但是不限定就难了，就变成椭圆曲线问题了

tian27546 · 发表于 2011-2-28 12:47:36

嗯已经解决

mathe · 发表于 2011-3-1 16:45:02

给个过程,设
$x^3=P^2-P+1$
$(x-1)(x^2+x+1)=P(P-1)$
由于$x^2+x+1>x-1$,所以素数P不可能是$x-1$的因子,于是$P|x^2+x+1$,
设$x^2+x+1=yP$,于是$P-1=y(x-1),P=y(x-1)+1$
消去P,得到$x^2+x+1=y^2(x-1)+y$即$x^2-(y^2-1)x+y^2-y+1=0$
根据二次方程求根公式$(y^2-1)^2-4(y^2-y+1)=y^4-6y^2+4y-3=(y^2-3)^2+4y-12$是完全平方数
于是,如果$y>3$,那么$(y^2-3)^2+4y-12>=(y^2-2)^2$,马上得出无解.
而$y=3$得出x=P=1或x=7,P=19,
$y=1,2$均无解,所以P=19是唯一解

tian27546 · 发表于 2011-3-2 21:50:25

嗯差不多的方法谢了管理员我是利用判别式夹在俩个平方数之间其中可以等于左边那个

manthanein · 发表于 2019-2-17 05:58:14

推广一下
$(8p-4)^2=(4x)^3-48$
相当于$Y^2=X^3-48$的整点。https://oeis.org/A081120/b081120.txt 说有四个。
不知道是不是带符号的，那么这四个是

$X=4$,$Y=4$
$X=4$,$Y=-4$
$X=28$,$Y=148$
$X=28$,$Y=-148$

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