一道函数方程猜想

tian27546

这个题目是一奥赛学生问我的 原题是要证明在有理数范围是单调的 这很简单 但我猜测是在实数范围都单调的， 或许也不是单调的 但我想给出反例来

mathe

连续性不能证明。从网站标签中选“选择公理”，可以找到一些类似话题

mathe

关于这个题目可以证明，方程的通解是
$f(x)=exp(h(x))+exp(-h(x))$,其中$h(x)$是把实数看成有理数域上线性空间以后的线性函数，也就是对于任意两个实数$x,y$，有$h(x+y)=h(x)+h(y)$

mathe

首先，我们选择任意一个$y\in R$,让$x=ny$代入，得到
$f((n+1)y)-f(y)f(ny)+f((n-1)y)=0$
于是我们知道数列$a_n=f(ny)$是一个线性递推数列，其特征多项式为$x^2-f(y)x+1=0$
假设方程两个根分别为$exp(t_y),exp(-t_y)$(根可以是复数，但是这时函数f的取值可以小于2)
再根据$a_0=f(0)=2,a_1=f(y)=exp(t_y)+exp(-t_y)$,我们得到$f(ny)=exp(n*t_y)+exp(-n*t_y)$
于是通过这种方法，对于任意的非零实数y,我们可以找到$h(y)$使得$f(y)=exp(h(y))+exp(-h(y))$
而且我们知道对于任意整数n,$h(n*y)=n*h(y)$

mathe

其次，由于实数可以看成有理数域上无限维线性空间，根据选择公理，可以构造其一族基$H$,使得对于任意非0实数r,在$H$中存在有限个元素$h_1,h_2,...,h_t$和有理数$p_1,p_2,...,p_t$使得$r=p_1h_1+p_2h_2+...+p_th_t$,而且这种表示方式唯一。
现在，如果我们任意指定函数$h(x)$在H中的取值,并且定义$h(r)=p_1h(h_1)+p_2h(h_2)+...+p_th(h_t)$，那么构造的函数$f(x)=exp(h(x))+exp(-h(x))$显然满足条件。
下面证明所有的函数都是这个形式：
首先，对于满足本题条件的函数，根据楼上的结论，由于要求$f(x)>=2$,我们可以上面的$h(y)$函数取值必然是实数。由此，容易反证得知对于任意的有理数q,$h(q*x)=q*h(x)$.
假设对于两个满足条件的函数f,g,首先对于任意H中的元素，函数取值相等，其次，假设对于H中任意两个元素的有理线性组合，函数f,g的取值也相等，现在证明两函数相等。
所以对于H中任意三个元素的线性组合$x=p_1h_1+p_2h_2+p_3h_3$
$f(p_1h_1+{p_2}/2h_2+{p_2}/2h_2+p_3h_3)+f(p_1h_1-p_2h_2)=f(p_1h_1+{p_2}/2h_2)f({p_2}/2h_2+p_3h_3)$
同样
$g(p_1h_1+{p_2}/2h_2+{p_2}/2h_2+p_3h_3)+g(p_1h_1-p_2h_2)=g(p_1h_1+{p_2}/2h_2)g({p_2}/2h_2+p_3h_3)$
比较我们得到$f(p_1h_1+p_2h_2+p_3h_3)=g(p_1h_1+p_2h_2+p_3h_3)$,同样类推，可以得出任意多个H中数有理线性组合取值相等，所以两函数相等。

现在我们去掉H中两个元素的有理线性组合取值也相等的约束，看看它们之间的要求:
也就是说设$x=p_1h_1+p_2h_2$,满足$f(x) != g(x)$,但是$f(p_1h_1)=g(p_1h_1)$,而且$f(p_2h_2)=g(p_2h_2)$

先查看一般情况两个实数a,b,使得$f(a+b) !=g(a+b),f(a)=g(a),f(b)=g(b)$
于是我们有$f(2a)=2f(a)=2g(a)=g(2a),f(2b)=2f(b)=2g(b)=g(2b)$
所以$f(a)f(b)=f(a+b)+f(a-b)=g(a)g(b)=g(a+b)+g(a-b)$
$f(a+b)f(a-b)=f(2a)+f(2b)=g(2a)+g(2b)=g(a+b)g(a-b)$
于是$f(a+b),f(a-b)$和$g(a+b),g(a-b)$都是方程$uv=f(2a)+f(2b),u+v=f(a)f(b)$的两组解。
由解的唯一性我们知道必然有
${(f(a+b)=g(a+b)),(f(a-b)=g(a-b)):}$
或
${(f(a+b)=g(a-b)),(f(a-b)=g(a+b)):}$
所以只能是第二种形式。

所以现在对于H中任意两个元素$h_1,h_2$，如果$f(h_1+h_2) != g(h_1+h_2)$,那么必然有$f(h_1+h_2)=g(h_1-h_2)$,如果$f(h_1),f(h_2)$不为2，
我们可以根据$f(h_1+h_2)=g(h_1+h_2)$还是$f(h_1+h_2)=g(h_1-h_2)$分成两种关系。
如果$f(h_1+h_2)=g(h_1+h_2)$，我们说$h_1$和 $h_2$之间存在关系,如果能够证明这个关系是一个等价关系，我们就可以将所有h分成两类，其中一类对应的某个h函数变号就变成相同的函数了。
现在假设有$h_1,h_2,h_3$使得$f(h_1+h_2)=g(h_1+h_2),f(h_2+h_3)=g(h_2+h_3)$,但是$f(h_1-h_3) != g(h_1-h_3)$
于是我们根据前面结论有$f(h_1-h_3)=g(h_1+h_3)$,又因为$f(h_1-h_3)=f((h_1+th_2)-(th_2+h_3))$,所以我们又得到$f(h_1-h_3)=g(h_1+2th_2+h_3)$
于是$g(h_1+h_3+2th_2)=g(h_1+h_3)$对于任意实数t成立。
由此$g(h_1+h_3)g(2th_2)=g(h_1+h_3+2th_2)+g(h_1+h_3-2th_2)=2g(h_1+h_3)$,我们得出$g(2th_2)=2$，这个同我们前提条件$g(h_2)!=2$矛盾。
所以我们知道$f(h_1+h_2)=g(h_1+h_2),f(h_2+h_3)=g(h_2+h_3)$可以得出$f(h_1-h_3)=g(h_1-h_3)$
又根据$f(h_1)f(h_3)=f(h_1+h_3)+f(h_1-h_3)$和对应的g公式得出$f(h_1+h_3)=g(h_1+h_3)$
也就是上面关系是等价关系。于是我们可以将基H分成3类:函数f的取值为2，或者根据上面等价关系分类。
最后容易看出，函数f取值为2的对应前面的h函数取值为0，而不等价的两个元素，对应前面的h函数中一个需要去相反数。在此处理以后，函数就唯一了。

tian27546

谢谢管理员  这个函数被称为达朗贝尔函数方程  应该有人研究过 是你这样解释的

mathe

最近在百度上看到一个类似的问题，在这里备个案，不过那个问题做起来要复杂很多:
http://tieba.baidu.com/p/1935858725?pid=25609198759
设函数f(x)定义域为全体实数, 对任意两个实数x,y,恒有f(x+y)*f(x-y)=[f(x)+f(y)]*[f(x)-f(y)],求这个函数的解析式
本题中解是余弦或双曲余弦，而链接中问题是正弦或双曲正弦或线性函数