一个极值问题

数学星空

已知正数$a,b,c$满足$a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=k$, $n$为正实数,
求$P(n)=a^n/(b^n+c^n)+b^n/(a^n+c^n)+c^n/(a^n+b^n)$的最大值和最小值?

注:由$a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=(a+b+c)^2/(2*(a*b+a*c+b*c))>=3/2$知$k>=3/2$

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Tourish给出$n=2$时的结果
1.  若$ k>=2$,则$P(2)_min=k^2-2$     
      若$2>=k>=3/2$,则$P(2)_min=(-90+112*k-64*k^3+32*k^4+(6-28*k+40*k^2-16*k^3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(8*(4*k^2-8*k+5))$

2. 若$k>=3/2$,则$P(2)_max=(-90+112*k-64*k^3+32*k^4-(6-28*k+40*k^2-16*k^3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(8*(4*k^2-8*k+5))$

gxqcn

n=2 时，结果表达式都这么复杂啊。。。

数学星空

其实当三个数$a,b,c$中有两个数相等时
即$a=b=t $,可以得到$ c=t*(2*k-1+-sqrt(4*k^2+4*k-15))/2$

我们可以得到:
1.若 $2>=k>=3/2$   
$P(n)_min=1/2*(4*(-1)^n*(2*k-1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n+16^n*(k-2)^(2*n)*(-1)^(-n)*(2*k-1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^(-n))/((-1)^n*(2*k-1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n)$

2.若$k>=3/2$   
  $P(n)_max=1/2*(4*(-2*k+1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n+(-2*k+1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^(-n)*(4*k-8)^(2*n))/((-2*k+1+sqrt(4*k^2+4*k-15))^n+(4*k-8)^n)$                        

当$n=2$时,我们便可以得到2#的答案
$P(2)_min=1/4*(16*k^4-32*k^3-45+56*k+(20*k^2-14*k-8*k^3+3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(4*k^2-8*k+5)$
$P(2)_max=1/4*(16*k^4-32*k^3-45+56*k-(20*k^2-14*k-8*k^3+3)*sqrt(4*k^2+4*k-15))/(4*k^2-8*k+5)$

dlsunhui

够复杂的