请教一个不等式的证法

sunwukong

已知 a,b,p,q 是正整数，a<b，1<p<q ，求证

[1+p^(-1)+p^(-2)+…+p^(-b)]*[1+q^(-1)+q^(-2)+…+q^(-a)] > [1+p^(-1)+p^(-2)+…+p^(-a)]*[1+q^(-1)+q^(-2)+…+q^(-b)]

mathe

暴力可破解
$1+p^{-1}+...+p^{-b}={1-p^{-b-1}}/{1-p^{-1}}$
所以原不等式可以变换成证明
${1-p^{-b-1}}/{1-p^{-a-1}}>{1-q^{-b-1}}/{1-q^{-a-1}}$
替换$B=b+1,A=a+1$
于是变成当$B-A>=1,A>=2$时，证明$f(t)={1-t^B}/{1-t^A}$在$0<t<1$时单调增或者其对数
$g(t)=ln(1-t^B)-ln(1-t^A)$在$0<t<1$时增
由于$g'(t)=-Bt^(B-1)/(1-t^B)+At^(A-1)/(1-t^A)$
于是要求证明$At^(A-1)(1-t^B)>Bt^(B-1)(1-t^A)$,即$(B-A)t^(B+A-1)-Bt^(B-1)+At^(A-1)>0$
即$h(t)=(B-A)t^B-Bt^(B-A)+A>0$对于$0<t<1$恒成立
由于$h(0)=A>0,h(1)=0$,而$h'(t)=B(B-A)t^(B-1)-B(B-A)t^(B-A-1)<0$对于$0<t<1$恒成立
所以我们知道$h(t)>0$对于一切$0<t<1$成立，所以原命题成立

nnd

令p1=p^(-1)，q1=q^(-1),然后两边乘以(1-p1)*(1-q1)