求单位正方形内随机三角形是钝角三角形的概率

wayne

在单位正方形内,随机取三点,构成三角形是钝角三角形的概率为多少?


该问题源自 @倪举鹏 的扑克问题 里的一个帖子.
特 单独拿出来, 看能不能讨论出一个满意的结果.


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wayne

本质上是一个六重积分, 但计算起来可费劲了,Mathematica罢工了,其实我也很懒,一个六重的积分直接扔给祂了, .
谁有办法算出准确值来?

跑了2*10^8次模拟, 稳定的数字貌似是 0.725206....

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百度贴吧也有类似的主题,但无最终结论.

http://tieba.baidu.com/p/1451727017

看到 fyh8211 在42楼给出一个解析表示是  $97/150+\pi/40=0.72520648300641149763..$

跟我的模拟结果吻合的还是很不错的.
莫非这就是准确解了么?

倪举鹏

现在是研究已经出现的三角形，不是三角形形成的过程。你们的软件玩得好  什么都暴力算，我还是取巧了：无限的坐标平面里，有一个三角形，也不知道是钝角还是锐角，我将这个三角形随便放大缩小翻转都行，将它最长边缩放到2，放在X轴上，中点为（0,0）。现在另外两边长小于2，画几个弧或半圆什么的算与坐标轴围成的面积比就行了啊    结果3*Pi/(8*Pi-6*3^(1/2))=0.63938不知道算错没有

倪举鹏

高一时候还有个猜想 需要模拟：  在正整数范围里，随机取几个数出来分解出所有因子，所有因子的和，与原来几个数的和的比例似乎与Pi有关系。不知道是不是。  例如取6,10   结果(（1+2+3+6）+（1+2+5+10））/(6+10)  还猜想  取出所有正整数全部分解算和，与所有正整数和的比例是不是有个惊喜发现不知道前人研究过没有，没有的话 我是不是出名了

Lwins_G

倪举鹏 发表于 2014-1-5 20:26
高一时候还有个猜想 需要模拟：  在正整数范围里，随机取几个数出来分解出所有因子，所有因子的和，与原来 ...

记你说的这个值为$f(n)$，那么

\[ \eqalign{f(n) &= \frac{1}{1+2+\cdots+n} \sum_{j=1}^n \sum_{d | j} d  \\
&= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{d=1}^n d\left\lbrack\frac{n}{d}\right\rbrack \\
&= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{d=1}^n \sum_{j=1}^{\tfrac{n}{d}} d \\
&= \frac{2}{n(n+1)} \sum_{d=1}^n \left( \frac{1}{2} \left(\frac{n}{d}\right)^2 + O\left(\frac{n}{d}\right)\right ) \\
&= \frac{n^2}{n(n+1)} \zeta (2) + O\left(\frac{\log n}{n}\right)}  \]

我们有\( \displaystyle \lim_{n\to\infty}{f(n)} = \frac{\pi^2}{6} \)。

倪举鹏

Lwins_G 发表于 2014-1-5 20:50
$$ \frac{1}{1+2+\cdots+n} \sum_{j=1}^n \sum_{d | j} d = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{d=1}^n d[\frac{n}{d ...

这个结果等于多少  是超越数还是可以用Pi什么的表示

倪举鹏

Lwins_G 发表于 2014-1-5 20:50
记你说的这个值为$f(n)$，那么

$$ f(n) = \frac{1}{1+2+\cdots+n} \sum_{j=1}^n \sum_{d | j} d = \ ...

不取全部   随机取几个数   结果也是2对吧

wayne

刚才 吃饭的那会,思维一下子发散了.顿时觉得 这个话题有很多地方 可以发挥一下:

一)有限区域不再是正方形
1) 圆的边界上随机选取三点?    在圆的内部随机选取三点?
2) 三角形的三边上, 三角形的内部
3) 在闭合的曲线,如椭圆上或者 内部 选取三个点?
4) 正方体?正四面体?

oh, my God, 每一种情况似乎都是一个个例, 而且都很难啃, 有的算了

二) 被研究对象可以不再是三角形的顶角性质
1) 随机三个点构成的三角形的面积的期望??
2) 随机两个点构成的线段的长度的期望?
3) 随机四个点,五个点,n个点 构成的凸多边形的面积的期望??

这种情况下,貌似都是带有平方根的,估计不大可能有解析解.

这一),  二)的 乘法组合,就是  4*2*3 =24 种
谁有兴趣一一计算一下?
或许可以有 大一统的方法解决之?

mathe

这个问题可以这样考虑
首先在单位正方形中随机选择两个点A,B,那么我们可以先分别过A,B做线段AB的垂线，然后再做以AB为直径的圆。
显然，只有第三个点C在两条垂线外部或者圆内时（当然同时要在正方形内部），三角形是钝角三角形。
所以我们需要分别计算两条垂线外部的面积和圆在单位正方形内部的面积，然后再对随即点A,B积分即可。
为此，我们可以将两部分积分分开计算，然后累加。其中圆部分的积分更加复杂些，下面将只讨论这部分。
设A(x1,y1),B(x2,y2),于是假设在得到圆在正方形内部面积S(x1,y1,x2,y2)后，我们需要对这个面积求四重积分。为此，我们先求出圆的圆心P(x3=(x1+x2)/2,y3=(y1+y2)/2)，它显然也在单位正方形内部，然后我们可以简单的做积分变换，变成对x1,x3,y1,y3做积分。
此后我们只要考虑P,A之间的关系就可以了，其中P分布在单位正方形内部。
对于每个P,我们现在要考虑A的可能分布，为此我们可以先找到离P最近的边L1,次近的边L2.然后做L1关于P的堆成直线L1',L2关于P对称直线L2',于是显然A只能在L1,L1',L2,L2'围成的矩形内部，我们称此矩形为P生成的矩形。
现在以P为圆心，任意一个直径小于P生成矩形对角线的圆，那么圆在P生成矩形内部的点都可以作为A的候选点，而这个A的候选点对应的圆都正好是这个圆。所以这个圆的权重正好是圆周在P生成矩形内部的长度。所以如果我们能够对所有的这些圆(直径从0到P生成矩形对角型长),计算出在生成矩形内部的圆周长，乘上单位正方形内部的圆周面积，然后将乘积关于直径积分，在关于P积分，即可求出结果，这是一个三重积分。
为了计算这个三重积分里面乘积的公式，我们需要对圆直径长度进行分类，分别根据直径长度和P生成矩阵短边，长边距离先分成三类，不同部分圆周落于生成矩阵内部公式不同。而对于最后一类，还要根据圆半径是否大于P到另外两边的距离有不同的面积公式，所以最多分五类。最后还要计算这个三重积分。

wayne

mathe 发表于 2014-1-5 21:09
这个问题可以这样考虑
首先在单位正方形中随机选择两个点A,B,那么我们可以先分别过A,B做线段AB的垂线，然 ...

分情况讨论 也有点头疼呢