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[讨论] 关于\(\Gamma(\cdot)\)函数和组合数的等式证明

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发表于 2014-1-18 03:54:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对于任意自然数\( N \),如何证明下面的等式:
\[\Gamma^2(N)=\Gamma(2N)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n}{n+N}\binom{N-1}{n}\]
其中,\(\Gamma(\cdot)\)是gamma函数,对于自然数有\(\Gamma(N)=(N-1)!\) .

P.S. 已经用Maple验证了上面等式的合法性

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发表于 2014-1-18 18:07:57 | 显示全部楼层
我把它变成了纯组合数:\[1=\sum_{n=0}^{N}{(-1)^n}\binom{2N+1}{N-n}\cdot\binom{N+n}{N}\]
不知道如何给一个组合解释。
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发表于 2014-1-22 17:37:54 | 显示全部楼层
\[ \begin{align*} \Gamma^2(N) &= \left( \int_0^{\infty}e^{-x}x^{N-1}\, \mathrm{d}x \right)^2 \\ &= \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-u}u^{N-1} e^{-v}v^{N-1}\, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v \\ &= \int_0^1 \int_0^{\infty} e^{-x}(tx)^{N-1}((1-t)x)^{N-1}x\, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t  \color{black}{\ \ \ \ (\ \mathrm{Set}\ u=tx, \, v=(1-t)x\ )} \\ &= \left(\int_0^{\infty}e^{-x} x^{2N-1} \, \mathrm{d}x \right) \cdot \left( \int_0^1 t^{N-1} (1-t)^{N-1}\, \mathrm{d}t \right) \\ &= \Gamma(2N) \left( \int_0^1 t^{N-1} \sum_{n=0}^{N-1}(-1)^n \binom{N-1}{n}t^n \, \mathrm{d}t \right) \\ &= \Gamma(2N) \left( \sum_{n=0}^{N-1} \int_0^1 (-1)^n \binom{N-1}{n}t^{N+n-1} \, \mathrm{d}t \right) \\ &= \Gamma(2N)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n}{n+N}\binom{N-1}{n}\end{align*} \]

Any problem?

点评

@hujunhua 这是为了把$e^{-u}$和$e^{-v}$尝试着整合起来(成$e^x$)的一种变换,在操作之前我也不知道是否能成功。  发表于 2014-1-23 17:34

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hujunhua + 6 + 8 + 6 + 6 + 6 没问题! 就是那个巧妙的变量代换有点突兀

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 楼主| 发表于 2014-1-26 23:01:52 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2014-1-22 17:37
\[ \begin{align*} \Gamma^2(N) &= \left( \int_0^{\infty}e^{-x}x^{N-1}\, \mathrm{d}x \right)^2 \\ &= \ ...

非常感谢楼上2位的帮助!
Lwins_G的思路很特别,感谢!
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