狄多公主圈地的变种

葡萄糖

《狄多公主圈地》
在希腊传说中，推罗国王穆顿有个聪明漂亮的公主叫狄多。狄多在她的王国里过着幸福快乐的生活，自由自在、无忧无虑，可是好景不长，不幸的事情发生了，她的丈夫被她的兄弟塞浦路斯王杀死了。
可怜的狄多赶紧逃亡到了非洲西海岸，她想在这儿生活下来，于是她拿出随身携带的珠宝、玉器、金币，打算从当地酋长雅尔巴斯那里买些土地盖房子。狄多对酋长说：“我只要用一张牛皮包起来的地方。”酋长想也没想，一块牛皮包起的地方能有多大啊，自己捡了个大便宜，于是爽快的答应下来。狄多要了一头牛，把它杀了，剥下皮来，把牛皮剪成长长的细条，准备用牛皮来圈地。她以海为界,用牛皮条圈了一个半圆，圈出了一块相当大的面积。
后来，狄多在那儿建立了迦太基城。今天，还保存着迦太基的古迹。

如果边界是定长的线段，那么用一个定长的哪种曲线能圈得最大面积的土地？
定长曲线的长度分大于半圆弧、小于半圆弧和等于半圆弧讨论！

葡萄糖

有人看吗！？

葡萄糖

葡萄糖 发表于 2014-2-4 20:07

实际上，题目就是：
过定线段两端点，曲线长为定长的曲线与线段围成的最大面积。
变分法及其应用

KeyTo9_Fans

这个问题还有另外一个变种，就是在规定的时间内跑出一条封闭的曲线，曲线所围的土地归你所有。

假设起点在草地和泥地的交界处，如下图所示：

圈地问题变种

在草地上跑，速度是$v_1$米每秒；

在泥地上跑，速度是$v_2$米每秒。

问应该怎样跑才能围出最大面积。

假设起点不在交界处，又应该怎样跑呢？

mathe

起点在边界很简单，相切交线的圆

mathe

如果起点在草地，那么同样只在草地是跑圆周即可。

mathe

如果起点在泥地，那么可能是两段圆弧，关于分界线垂线对策，在分界线处应该有“折射“

mathe

还有"折射"夹角问题，计算极值就可以得出，不知道是否会类似光路折射条件