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[讨论] 一道平面几何最值问题

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发表于 2017-5-10 11:18:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,在 \(\triangle AOB\) 中,\(OA=6\),\(OB=8\),\(\angle AOB=90\degree\),半径为 \(4\) 的 \(\odot O\) 上有一个动点 \(D\),连结 \(AD\)、\(BD\),
则 \(\left(AD +\dfrac{1}{2}BD\right)\) 的最小值是________

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-5-10 11:22:02 | 显示全部楼层
答案是 \(2\sqrt{10}\),请大家试着解答一下,看难度大不?

我过两天给过程(不是我做出来的)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-10 12:50:20 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2017-5-10 11:22
答案是 \(2\sqrt{10}\),请大家试着解答一下,看难度大不?

我过两天给过程(不是我做出来的)。

  1. (*一道最值平面几何题*)
  2. (*http://bbs.emath.ac.cn/thread-9497-1-1.html*)
  3. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  4. FullSimplify@Minimize[{Sqrt[(x-6)^2+y^2]+Sqrt[x^2+(y-8)^2]/2,x^2+y^2==16},{x,y}]
复制代码

难度当然不大,拉格朗日乘子法就可以解决了
运算结果
\[\left\{2 \sqrt{10},\left\{x\to \frac{3}{5} \left(\sqrt{31}+1\right),y\to \frac{1}{5} \left(9-\sqrt{31}\right)\right\}\right\}\]

点评

这个答案我给100分!  发表于 2017-5-12 08:15
十足小题大作的形式。  发表于 2017-5-10 17:04
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-5-10 12:59:54 | 显示全部楼层
这是初中数学试卷上的一道填空题,
如果要求用他们能理解的知识去解答,你会怎么做?

点评

有能耐用初等办法给我整个最大值  发表于 2017-5-12 11:07
开设“小题大做”这个版块,就是为了探讨这类问题的  发表于 2017-5-10 13:06
不碍事,把你的“微积分”过程公布出来,好让大家瞻仰瞻仰,也蛮好的。。。  发表于 2017-5-10 13:05
那你就改一下标题:一道初中几何题,怎么做?  发表于 2017-5-10 13:03
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-5-10 13:10:28 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2017-5-10 12:59
这是初中数学试卷上的一道填空题,
如果要求用他们能理解的知识去解答,你会怎么做?
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. fun=Sqrt[(x-6)^2+y^2]+Sqrt[x^2+(y-8)^2]/2+z*(x^2+y^2-16)
  3. funx=D[fun,x]
  4. funy=D[fun,y]
  5. funz=D[fun,z]
  6. Solve[{funx==0,funy==0,funz==0},{x,y,z},Reals]
复制代码

你要就拿去吧,求倒数,解方程组

点评

@TSC999 真受不了你,看我上下文的意思,以及我写的代码,你应该知道是求导数,而不是倒数!  发表于 2017-5-14 12:05
对 “求倒数” 琢磨了半天,原来是“求导数”。这拼音输入法就是万恶。  发表于 2017-5-14 09:50
都可以的,我的写法是只求x,y,消去z  发表于 2017-5-12 16:10
@chyanog 我怎么觉得应该是Solve[D[Sqrt[(x - 6)^2 + y^2] + 1/2 Sqrt[x^2 + (y - 8)^2] + z (x^2 + y^2 - 16), {{x, y, z}}] == 0, {x, y, z}]  发表于 2017-5-12 08:19
没必要写这么长,Solve[D[Sqrt[(x-6)^2+y^2]+1/2 Sqrt[x^2+(y-8)^2]+z (x^2+y^2-16),{{x,y,z}}]==0,{x,y},{z}]  发表于 2017-5-11 19:20
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发表于 2017-5-10 13:25:26 | 显示全部楼层
在B点放一个质量是1的物体,在A点放一个质量是2的物体,
然后....
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-5-10 14:15:05 | 显示全部楼层
2017-05-10_141421.png

点评

高中才学到圆锥曲线吧?  发表于 2017-5-10 17:20
精巧的小题,漂亮的解释!  发表于 2017-5-10 16:39
哦,阿波罗尼斯圆,涨见识了:)  发表于 2017-5-10 16:36
考虑圆的第二定义:到两定点的距离之比为常数的点的轨迹  发表于 2017-5-10 16:02
好吧,请说说点 F 的来历,是如何想到的。。。  发表于 2017-5-10 14:47

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-5-10 17:19:44 | 显示全部楼层

我比较笨,没看明白,你具体地说两下

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这不像你一贯的风格啊。。。  发表于 2017-5-10 17:26
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发表于 2017-5-10 17:33:10 | 显示全部楼层

我明白了,你是把B与F看成两个焦点,然后形成了半径为4的圆形,然后AF之间两点线段距离最短!
不过初中没学这玩意,
我觉得直接用软件算也没错!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2017-5-10 18:14:16 | 显示全部楼层

请问这题如果转化成问BD+2*AD如何解决?
难道只能以BF两点为焦点?
不能以A为焦点吗?

点评

如果是问2/3AD+BD,就适合以A为焦点  发表于 2017-5-10 19:10
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