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[求助] 不定积分的近似计算

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发表于 2017-12-2 18:35:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
考虑
\[f(x)=-\alpha\beta e^{-\alpha\beta x} x^{\beta} \int_0^x e^{\alpha\beta y} y^{-\beta}dy\]
求$f(x)$的一个初等近似表达式,当然,有级数更好。其中$\alpha,\beta$非负

这个表示式是方程
\[\frac{df}{dx}=-\beta\left[\alpha(1+f)-\frac{f}{x}\right]\]
的一个解。

有一个结果是$\beta \to \infty$时,有
$$f(x)\approx -\frac{\alpha x}{\alpha x-1}$$
但过程并不好看,大概的步骤是将$e^{\alpha\beta y}$展开成幂级数,完成积分
然后分析级数的每一项,用laplace方法的思想,找出级数的最大项,接着在最大项附近取对数展开成二阶,变求和为积分,从而得到一个阶的估计式。

所以想问一下,有没有更有启发性、更直接一点的思路?主要是想掌握分析的思路,例子本身也不大重要。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-3 19:57:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 kastin 于 2017-12-3 19:58 编辑

当 `\beta \to +\infty` 时,微分方程退化为代数方程,也能直接解得上面的结果。
由于`\beta<1` 时 `f(x)` 在零点有极限值为零,于是可分情况来讨论:
1) `\beta>1`
根据渐近结果可知,方程的解可以表示为\[f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u_k(x;\alpha)}{\beta^k}\tag{1}\]其中 `\D u_0(x;\alpha)=-\frac{\alpha x}{\alpha x-1}`. 将渐近级数 `(1)` 代入微分方程,对比`\beta` 的指数项可得 \[\begin{split}u_1(x;\alpha)&=-\frac{\alpha  x}{(\alpha  x-1)^3}\\
u_2(x;\alpha)&=-\frac{\alpha  x (2 \alpha  x+1)}{(\alpha  x-1)^5}\\u_3(x;\alpha)&=-\frac{\alpha  x \left(6 \alpha ^2 x^2+8 \alpha  x+1\right)}{(\alpha  x-1)^7}\\\cdots
\end{split}\]2) `\beta=1`
此时比较简单,直接求解微分方程即可\[f(x)=C x \mathrm{e}^{-\alpha x}-\alpha x \mathrm{e}^{-\alpha x} \text{Ei}(\alpha x)\tag{2}\]当 `0\leqslant \beta<1`时,同样的方式给出渐近级数\[f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}u_k(x;\alpha)\beta^k \tag{3}\]令 `\beta=0` 得到零阶近似 `u_0(x;\alpha)=\mathrm{const}`.
代入微分方程后得到\[\begin{split}u_1(x;\alpha)&=-2\alpha x+\ln x+C\\
u_2(x;\alpha)&=2\alpha^2 x-\alpha\ln x+\frac{\ln x}{x}+\frac{C}{x}-\alpha(2+C)\end{split}\\\cdots\]可以顺着这个思路下去
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
我发现原来的计算跟我的理解有点出入,我先理解了再来继续讨论这个问题。
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发表于 6 天前 | 显示全部楼层
积分的内容可以表示为不完全$Gamma$函数:
https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function
$\gamma(s,x)=\int_0^{x} t^{s-1}e^{-t}dt$
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