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[原创] 风筝的角度

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发表于 2017-12-15 22:55:42 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知正方形$ACHF$内部有一个风筝形状的四边形$BDGE$,存在关系$GD=BG=GE$,求角度$x = DBE$
====================================
补充一下:所谓风筝形状,就是四边形$BDGE$的形状存在对称轴,对称轴是$BG$

111.png

点评

结果是对的,过程不对。 该图形并不一定是对称的  发表于 2017-12-16 13:36
我是高中才学会$\arctan$函数的。还有更初等的解法吗?  发表于 2017-12-15 23:46
$x=180-2ABD=180-2\arctan(\frac{AD}{AB})=180-2\arctan(\frac{1-\sqrt(3)/2}{1/2})=180-2*15=150$  发表于 2017-12-15 23:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-12-16 08:09:23 | 显示全部楼层
1,GF/GD=1/2     得∠GDF=30     ∠DGF=60     ∠DGB=30
2,GD=GB=GE  得GDB,GBE为等腰三角形,顶角是30,底角是75
3,x=DBE=75×2=150

点评

答案是对的,过程不对  发表于 2017-12-16 13:34
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发表于 2017-12-16 10:57:36 来自手机 | 显示全部楼层
三角形DEG是正三角形,所以圆心角DGE是60度,对应圆周角30度,补角DBE是150度

点评

相似三角形  发表于 2017-12-17 12:05
只知道是等腰三角形,怎么知道是正三角形?  发表于 2017-12-16 21:47
^_^  发表于 2017-12-16 13:36
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 楼主| 发表于 2017-12-16 22:13:05 | 显示全部楼层
@all,  要知道, 正方形里面的风筝形状 不一定刚好是处于轴对称的位置, $AB$不一定等于$BC$,但是你可以证明$AB$一定等于$BC$
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发表于 2017-12-17 13:37:45 | 显示全部楼层
只有对称的时候是等于150度,其他时候角度可变。
风筝.png

点评

如果相切,则BG一定垂直AC,根据圆和正方形的对称性可知,若要求GD与GE对称并且保持长度相等,必然G位于FH中点,否则BG不可能是角DGE的平分线  发表于 2017-12-18 11:22
@wayne,明白了。其实就是BG与AC相切的情况。  发表于 2017-12-18 11:13
我在具有误导性的帖子里 加了一句:“但是你可以证明AB一定等于BC”  发表于 2017-12-17 14:50
不好意思,误导了,补充一下:所谓风筝形状,就是四边形BDGEBDGE的形状存在对称轴,对称轴是BGBG  发表于 2017-12-17 14:49
^_^, 所以你需要证明,这个证明的过程要放在解题的步骤里  发表于 2017-12-17 14:45
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发表于 2017-12-18 12:10:51 | 显示全部楼层
没想到简单的方法,暴力解决
2017-12-18_120938.png
2017-12-18_121503.png
  1. ArcCos[((c^2+d^2)+(b^2+(1-c)^2)-(1+(b-d)^2))/(2 Sqrt[c^2+d^2] Sqrt[b^2+(1-c)^2])]/. Solve[{a^2+(1-d)^2==(1-a)^2+(1-b)^2==1+(a-c)^2,c^2+d^2==b^2+(1-c)^2,0<a<1,0<b<1,0<c<1,0<d<1},{a,b,c}]//FullSimplify
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 楼主| 发表于 2017-12-18 12:38:34 | 显示全部楼层
据说是 New Zealand很火的一道数学题,该题出处
https://mindyourdecisions.com/bl ... blem-correct-proof/
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