最小值

student_qwh · 发表于 2018-1-7 09:14:08

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设正整数a,b,c满足$c^2-1=a^2(b^2-1)$,a>1求$a/b$的最小值

mathe · 发表于 2018-1-7 10:05:22

分析a的某个素因子p,如果最大次数为h,那么在p>2时可以有$c= +-1(mod p^{2h})$
而对于p=2有$c= +-1(mod 2^{2h-1})$

mathe · 发表于 2018-1-7 10:29:54

这个可以用PELL方程来求解。不定方程$X^2-(b^2-1)Y^2=1$有特解(b,1),于是第二小的解是$(2b^2-1,4b)$,于是可知对于任意给定的b,a的最小值都是4b

student_qwh · 发表于 2018-1-8 18:27:51

谢谢

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