这个初中几何题如何求解?

mathematica

不知道如何用初等办法求解

我用解析几何的办法求解
E(0,a)
F(b,c)
A'(d,0)
约束条件
AE=A'E
AF=A'F
点在斜边上

1. FullSimplify@Minimize[{b^2+(a-c)^2,(a-4)^2==a^2+d^2&&b^2+(c-4)^2==(b-d)^2+c^2&&b/3+c/4==1},{a,b,c,d}]
   

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最后结果是
\[\left\{531-216 \sqrt{6},\left\{a\to 2 \sqrt{6}-3,b\to 3 \left(\sqrt{6}-2\right),c\to -4 \left(\sqrt{6}-3\right),d\to 2 \left(\sqrt{6}-2\right)\right\}\right\}\]
开平方结果
\[12 \sqrt{2}-9 \sqrt{3}\]

mathematica

lsr314 发表于 2018-3-3 21:56
EF可以用∠BAA'的三角函数来表示

1. (*
   
2. 以TanA表示∠BAA'的正切
   
3. 以TanB表示∠CAA'的正切
   
4. y表示AA'的一半=4*Sqrt[1+TanA^2]/2
   
5. (TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)==3/4三角形和差化积,3/4表示∠CAB的正切
   
6. EF=y*(TanA+TanB)
   
7. 由最终的计算结果发现:TanA:TanB=1:2
   
8. *)
   
9. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
10. out=FullSimplify@Minimize[{y*(TanA+TanB),y==4*Sqrt[1+TanA^2]/2&&(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)==3/4&&TanA>0&&TanB>0},{y,TanA,TanB}]

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运行结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{y\to \sqrt{14-4 \sqrt{6}},\text{TanA}\to \sqrt{\frac{3}{2}}-1,\text{TanB}\to \sqrt{6}-2\right\}\right\}\]

mathematica

可以使用拉格朗日乘子法求解这个问题,问题不难!
但是求解方程组很难,应该是很难手酸的
至少我没尝试过手算

不知道有谁能用初中生的办法求解出这个问题?

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. NMinimize[{y*(Tan[A]+Tan[B]),y==4/Cos[A]/2&&Tan[A+B]==3/4&&0<A<3/4&&0<B<3/4},{y,A,B},AccuracyGoal->80,PrecisionGoal->80,WorkingPrecision->80]
   

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数值解代码
{1.3821054803572449438732476169635256403506802839508732081012675292429185020383427,
{y -> 2.0498880527646595382523121660509391467436513903153663461939283388009868264593095,
A -> 0.22107159400147679767190611171425191321074029685710450575644907045815201970936401,
B -> 0.42242951479180758913090311700307072483073647430023159766475561596831490347818707}}

lsr314

EF可以用∠BAA'的三角函数来表示

王守恩

mathematica 发表于 2018-3-4 11:49
运行结果
\[\left\{\frac{15}{\sqrt{24 \sqrt{6}+59}},\left\{y\to \sqrt{14-4 \sqrt{6}},\text{Tan ...

这样解好像可以。

\(由\D\frac{\tan(A)}{\tan(B)}=\frac{1}{2}\ \ \ \ 解得A\ \ \ \ 其中A+B=\arcsin(\frac{3}{5})  \)

\(EF=\D\frac{3×4\sin(A)}{2\cos^2(A)}=12\sqrt2-9\sqrt3\)

mathematica

王守恩 发表于 2018-3-4 15:10
这样解好像也可以。

\(设AE=EA'=A'C=K  \)

这个办法的道理是?
我觉得是瞎猫碰到死耗子,
因为我用别的直角三角形,发现没道理,不符合

kastin

设 `A'B=x`，连结 `AA'` 交 `EF` 于 `O`，由对称性可知，`EF`垂直且平分 `AA'`，故 `AO=\sqrt{16+x^2}/2`.
过 `A'` 作 `A'D\perp AC`，垂足为 `D`，于是 `A'D=A'C\sin C=\D\frac{4}{5}(3-x)`，`CD=\cos C=\D\frac{3}{5}(3-x)`，以及 `AD=AC-CD=\D\frac{16+3x}{5}`.

因为 `\mathrm{Rt}\triangle ABA',\mathrm{Rt}\triangle A AOE` 以及 `\mathrm{Rt}\triangle ADA',\mathrm{Rt}\triangle A OF` 这两组三角形各自相似，故 `EO=\D\frac{AO}{AB}x=\frac{x\sqrt{16+x^2}}{8}`，`FO=\D\frac{AO}{AD}A'D=\frac{2(3-x)\sqrt{x^2+16}}{x+16}`，从而 \[f(x)=EF=EO+FO=\frac{3x^2+48}{8(3x+16)}\sqrt{x^2+16}\]求函数最小值，得 `x=2\sqrt{6}-4` 时 `f_{\mathrm{min}}(x)=f(2\sqrt{6}-4)=12\sqrt{2}-9\sqrt{3}`.

kastin

代码

1. Minimize[{(3/8 (x^2 + 16)/(3 x + 16)) Sqrt[x^2 + 16], x > 0},
   
2.   x] // FullSimplify

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zeroieme

令AA'为h

1. h/2 (Tan[\[Alpha]]+Tan[\[Beta]])//.{\[Alpha]->ArcCos[4/h],\[Beta]->ArcTan[3/4]-\[Alpha]}//FullSimplify//MinValue[{#,4<h<5},h]&//FullSimplify

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