概率的分解逼近？

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函数的逼近在泛函分析中讨论很多，但是如果将函数限制为概率密度函数，那么相关的逼近是否成立的。

我不知道怎么找到相关内容，特来求助大家。

比如对于一般的二元概率密度函数$P(x,y)$，可否找到一簇（最多可数个）一元概率密度函数$P_i(x)$和$Q_i(x)$，以及单调递减的非负系数$\{a_i\}$，使得
$$P(x,y)=\sum_i a_i P_i(x) Q_i(y)$$

这其实就是概率的隐变量分解模型，就是想知道收敛性可以保证吗？这里的条件很宽松，$P_i(x)$和$Q_i(x)$的形式可以是任意的，只要它是概率密度函数即可。
直觉上$P(x,y)$是二元概率密度函数这个条件也降低了难度。

如果$a_i$不限定为非负，那么其实很容易，用一下Wiener's tauberian theorem就很容易找出一簇函数来～。

kastin

这里应该有些隐含的约束条件，比如 `P(x,y)\in (0,1)`, 以及 `P(x,y)` 在整个定义区间上定积分值为1，且其不定积分分别关于 `x` 和 `y` 单调。这样一来，`P_i(x)` 和 `Q_i(y)` 可能会被约束到一类非常窄的函数空间中。

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对的，$P(x,y)\geq 0$且定积分为1。只希望证明这种表示是否存在。

或者更广泛地讲，将系数限定为非负之后，泛函分析中的各种稠密性理论有多少还适用。