美丽的错误

mathe

前几天一直在讨论一些错误的证明，让我想起了伟大数学家Euler的一个用错误方法得出的正确的结论。
这是一个关于计算无穷级数
$1/{1^2}+1/{2^2}+...+1/{n^2}+...$
的和的方法。这个故事广为流传，所以现在我很难找到它的出处了。
Euler注意到对于解为$x_1,x_2,...,x_n$的多项式，如果$x_1,x_2,...,x_n$都不是0,我们可以将多项式写成
$(1-x/{x_1})(1-x/{x_2})...(1-x/{x_n})$
而正弦函数除了0以外，它的根为$+-pi,+-2pi,+-3pi,...,+-npi,...$,所以
我们可以将sin(x)写成
$x(1-{x^2}/{pi^2})(1-{x^2}/{(2pi)^2})(1-{x^2}/{(3pi)^2})...(1-{x^2}/{(npi)^2})...$
又由sin(x)的泰勒展开式
$x/{1!}-{x^3}/{3!}+{x^5}/{5!}-...$
我们将上面乘式展开，取x^3的系数，就得到
$1/{1^2}+1/{2^2}+...+1/{n^2}+...={pi^2}/6$

估计Euler自己也应该知道上面的方法是充满问题的。可是伟大的数学家就是于常人不同，虽然上面的方法是不正确的，
可是不仅仅${pi^2}/6$的最终结果是正确的，连上面得出的sin(x)的无穷乘积表示也是正确的。
而要严格的证明上面的过程可以得出正确的结果，需要用到复变函数中的整函数理论，它可以将一个整函数（正弦函数是一个整函数）展开成类似上面的无穷乘积形式，
只是对于通常的整函数，前面还需要乘上一个exp(h(z))这样形式的函数(其中h(z)是多项式),而非常有意思的是对于正弦函数h(z)是0,于是也就有了上面的结果

kenmark

呵呵，有一定的积淀也能化腐朽为神奇，化错误为正确

shshsh_0510

无心人

确实神奇
那么我们已有的数学证明有多少能经得起时间的考验呢