一道“简单”的几何题

wiley

18# KeyTo9_Fans

不好意思输入错了, 是 $67-y+2\sqrt{z}$.

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对照了一下, 和楼主的第二个表达式的前半部分是一样的, 只是把最后根号里的
$8\root{3}{175646564+112452\sqrt{849}}+8\root{3}{175646564-112452\sqrt{849}}-134\root{3}{37484+12\sqrt{849}}-134\root{3}{37484-12\sqrt{849}}+9$
替换成了
$6\root{3}{-108+12\sqrt{849}}-6\root{3}{108+12\sqrt{849}}+9$

数学星空

$1/sqrt(9-t^2)+1/sqrt(25-t^2) = 1$
化简得到:$ t^8-64*t^6+1402*t^4-12088*t^2+35581=0$
可以解得:$37484+12*sqrt(849) = x$
                  $(67*x^(1/3)+2*x^(2/3)+2240)/x^(1/3) = y$
                  $(67*x^(1/3)*sqrt(y)-sqrt(y)*x^(2/3)-1120*sqrt(y)+3*sqrt(3)*x^(1/3))/(x^(1/3)*sqrt(y)) = z $
                  $t=1/3*sqrt(144-3*sqrt(3)*sqrt(y)-3*sqrt(6)*sqrt(z))$

KeyTo9_Fans

18# KeyTo9_Fans

不好意思输入错了, 是 67-y+2\sqrt{z}.

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对照了一下, 和楼主的第二个表达式的前半部分是一样的, 只是把最后根号里的
8\root{3}{175646564+112452\sqrt{849} ...
wiley 发表于 2010-1-5 15:19

这样就简单了，也就是要证明

$4\root{3}{175646564+112452\sqrt{849}}+4\root{3}{175646564-112452\sqrt{849}}-67\root{3}{37484+12\sqrt{849}}-67\root{3}{37484-12\sqrt{849}}$

与

$3\root{3}{-108+12\sqrt{849}}-3\root{3}{108+12\sqrt{849}}$

是相等的即可。

数学星空

可以验算出:楼上两式均为方程5832 + 1296 *x + x^3=0
的根,且均等于-4.4327910990190091841
即楼上两式相等

wayne

用mathematica的RootReduce可以得到：
AB=Root[-16 + 32 t - 16 t^2 - 2 t^3 + t^4 , 2]=4.20953905619626
BC=Root[35581 - 12088 t^2 + 1402 t^4 - 64 t^6 + t^8 , 3]=2.6981069167767067
CD=Root[16 - 32 t + 16 t^2 - 2 t^3 + t^4 , 2]=1.311571220194197

KeyTo9_Fans

24楼太强了！

你是怎么找到那个三次方程的？

我一直盯着23楼好久了，怎么都看不出那两个式子是怎么相等的。

无奈只好开始按计算器。

按了好一阵子，终于发现那两个式子……

$4\root{3}{175646564+112452\sqrt{849}}+4\root{3}{175646564-112452\sqrt{849}}-67\root{3}{37484+12\sqrt{849}}-67\root{3}{37484-12\sqrt{849}}$

与

$3\root{3}{-108+12\sqrt{849}}-3\root{3}{108+12\sqrt{849}}$

有这样的关系：

$4\root{3}{175646564-112452\sqrt{849}}-67\root{3}{37484+12\sqrt{849}}=-3\root{3}{108+12\sqrt{849}}$

$4\root{3}{175646564+112452\sqrt{849}}-67\root{3}{37484-12\sqrt{849}}=3\root{3}{-108+12\sqrt{849}}$

这样就清晰多了，手工验证变得更简单了。

把第一个等式两边立方，左边为

首立方：

$64*(175646564-112452\sqrt{849})$

尾立方：

$-300763*(37484+12\sqrt{849})$

3倍首首尾：

$-900480*(37484-12\sqrt{849})$

3倍首尾尾：

$33786009600$

加起来等于

$-2916-324\sqrt{849}$

也就是

$-27*(108+12\sqrt{849})$

右边为

$-27*(108+12\sqrt{849})$

所以

左边=右边

把第二个等式两边立方，左边为

首立方：

$64*(175646564+112452\sqrt{849})$

尾立方：

$-300763*(37484-12\sqrt{849})$

3倍首首尾：

$-900480*(37484+12\sqrt{849})$

3倍首尾尾：

$33786009600$

加起来等于

$-2916+324\sqrt{849}$

也就是

$27*(-108+12\sqrt{849})$

右边为

$27*(-108+12\sqrt{849})$

所以

左边=右边

所以23楼的两个式子是相等的。

所以对于原题，我们得到了一个更简洁的答案，也就是12楼的第3个式子（已改正）。

数学星空

呵,你学了Mathematica就知道了,只要按照类似于25楼的命令便很容易算出满足的方程

winxos

今天我也想了一下这个问题，我用相似三角形做的，我引入一个变量x=EC/AE，即E将AC的分割比例。这样可以得到EF与AB,CD的比例的关于x的表达，再通过勾股定理得到关于x的方程$25-(\frac{1+x}{x})^2=9-(1+x)^2$
BC的长度就等于$BC=25-(1+1/x)^2=9-(1+x)^2$
然后关于x的方程也是一个四次方程，数值解在正实数范围内只能取到0.311那个解，此时bc=2.698，就是wayne解出的那个。
对于解析解用Mathematica解了一下，非常的恐怖。
$x = -1/2+1/2 sqrt(-29/3+1/3 (4960-96 sqrt(849))^(1/3)+2/3 2^(2/3) (155+3 sqrt(849))^(1/3))+1/2 sqrt(-58/3-1/3 (4960-96 sqrt(849))^(1/3)-2/3 2^(2/3) (155+3 sqrt(849))^(1/3)+34/sqrt(-29/3+1/3 (4960-96 sqrt(849))^(1/3)+2/3 2^(2/3) (155+3 sqrt(849))^(1/3)))$
估计正实数的应该是上面这个解

wayne

26# KeyTo9_Fans

想到了一个非常恰当的词来形容，哈哈：

Obfuscating

wayne

28# winxos


这个是x最简单的表达形式，
所以不可能是正整数了。。。。。