和循环小数有关的趣题

guetsxjm

求一最小正整数，使其最高位左移到最低位得到的新数是原数的1.5倍？

gxqcn

答案可是：1176470588235294 ？

guetsxjm

楼上正确！
不知是用什么方法求解？

kofeffect

世界上最神奇的数字是:0588235294117647

我们把它从1乘到16看看。  
0588235294117647*1 = 0588235294117647
0588235294117647*2 = 1176470588235294
0588235294117647*3 = 1764705882352941
0588235294117647*4 = 2352941176470588
0588235294117647*5 = 2941176470588235
0588235294117647*6 = 3529411764705882
0588235294117647*7 = 4117647058823529
0588235294117647*8 = 4705882352941176
0588235294117647*9 = 5294117647058823
0588235294117647*10 = 5882352941176470
0588235294117647*11 = 6470588235294117
0588235294117647*12 = 7058823529411764
0588235294117647*13 = 7647058823529411
0588235294117647*14 = 8235294117647058
0588235294117647*15 = 8823529411764705
0588235294117647*16 = 9411764705882352

1/17=0.058823529411764705882352941176470588235294117647...

0588235294117647*17 = 9999999999999999   

期待 gxqcn的解法！

gxqcn

设该数为 $bar{ab}, 0<a<10, 0<b<10^x (a,b,x in NN)$，
则 $bar{ba}=b*10 + a=1.5(a*10^x + b)$
$=> b=(a(3*10^x-2))/17$
∵ $0<a<10$
∴ $17|(3*10^x-2)$
$=> 3*10^x -= 2 (mod 17)$
$=> 10^x -= 2//3 -= 2*3^15 -= 12 (mod 17)$
得 $x -= 15 (mod 16)$
取其最小值 x=15，令 a=1，即得结果，经验证满足要求。
（比之位数更长的数可如：11764705882352941176470588235294 (32位)）

guetsxjm

郭老大的解法果然很漂亮；
我把标题取为“和循环小数有关的趣题”是因为用循环小数也可以有一种美妙的解法；
kofeffect 的工作或许可以给我们一些提示

mathe

我们知道以奇素数为分母的分数中，如果两个分数分母相同，那么它们的循环节长度相同，而且相互之间可以通过循环移位来得到。
比如对于$k/p, k<p$
我们知道循环节最高位为$[{k*10}/p]$,而除掉最高位后余数位$(k*10)%p$
而后面每一位都可以通过同样方法计算出来(决定于前一位的余数)
所以我们知道，如果通过上面方法计算$2/p$,得出的第一个余数是3，也就是$20%p=3$,那么
必然有循环节中最高位移到最低位后结果位$3/p$
也就是得出$2/17$的循环节最高位移到最低位结果为$3/17$
而显然它们循环节中对应数的比例也是2:3，结果就得到了

mathe

kofeffect的结果也可以类似
我们取任何奇素数p
计算出$1/p$的循环节
那么这个循环节乘上k=1到p-1的数就分别可以得到$k/p$的循环节。

liangbch

我们知道以奇素数为分母的分数中，如果两个分数分母相同，那么它们的循环节长度相同，而且相互之间可以通过循环移位来得到。

　　并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数（p为奇素数），有的p其循环节长度为p-1(如7,17），而另一些则不是（如3,5,11,13)，只有前者具有#7楼上提到的性质。

　　到底素数p符合什么条件，可使得真分数x/p，其循环节长度为p-1，我不得而知，看看大家是否能够给出答案。

guetsxjm

另外也可以看出$4/17$与$6/17$正好也满足这种关系，比列也是2：3；
通过mathe介绍的循环移位，我们就很容易求出类似的2倍或k倍关系的整数；