高难度数学题

TSC999

王守恩 发表于 2017-2-7 09:26
1，两地相距120千米改为130千米，其余不变。
2，三人同时到达目的地是最少需要时间。
3，也就是说：每个 ...

这正是我反对小学生学习竞赛数学的原因。奥数老师找出每一类问题的 “最佳” 解法，然后让孩子们死记硬背，为的就是应付各种数学竞赛，目标就是用最少的时间解出尽可能多的题目，以取得好的竞赛成绩。举个典型的例子： 让小孩记住 “大胖子” 和 “小胖子” 各是多少。“大胖子” 就是 1 到 100 的平方和，“小胖子” 是 1 到 99 的奇数平方和。这样就把孩子们训练成了做题机器，而缺少研究分析的能力。奥昆科夫是俄罗斯数学家，2006年获得最著名的世界性数学奖——菲尔茨奖。可这样一位享誉全球的数学大师却告诉记者，他从来没有上过奥数，也没有参加过数学方面的奥林匹克竞赛。在俄罗斯，没有专门培训学生上奥数的机构。对现在的中国小学生拼命学奥数，奥昆科夫很不赞同。他说：做太难的题目反而会伤害孩子们学习数学的兴趣。如本论坛许多大师（gxqcn、hujunhua、数学星空、……）那样厉害的分析研究能力，可能许多奥数高手一辈子也达不到。

TSC999

就本题目而言，非常欣赏 hujunhua 等大师将其推广到多人多车的一般情况，并给出无懈可击的优美解法。不愧是【加精】帖子。
网上搜一下，发现有许多类似的题目，除了本论坛的这个帖子，没有一个能给出令人满意的解法。

葡萄糖

\[
\Huge
\color{red}{本问题：}
\]

gxqcn 发表于 2010-5-4 10:59
我也是上述方案。

假设固定车手，步行者分别为A、B：
A步行，车手带B骑行t1小时后B下车；
车手掉头骑行，A、B步行，经t2
小时后，车手与A碰头；
车手载上A，追赶B，经t3
小时，三人同时抵达终点。
总时间：
t=t1+t2+t3
小时

所得方程组为：
\[
\huge
{\color{black}{
\begin{cases}
\begin{split}
5\,t_1&+&\quad5\,t_2&+&50\,t_3&=&\,120\\
6\,t_1&+&60\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
50\,t_1&+&\quad5\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
{\color{red}{
\begin{cases}
\begin{split}
t_1&=&\,\dfrac{132}{65}\\
t_2&=&\,\dfrac{108}{65}\\
t_3&=&\,\dfrac{132}{65}\\
\end{split}
\end{cases}}}
}}
\]

\[
\Huge
\color{red}{一道相似的问题：}
\]

葡萄糖 发表于 2017-6-22 14:30
甲乙两地相距\(120\)公里，已知\(A\)的步行速率为每小时\(5\)公里，\(B\)的步行速率为每小时\(3\)公里，\(C\)的步行速率为每小时\(6\)公里，摩托车的速率是每小时\(50\)公里，摩托车后座只能搭一个人，问有三人（都会开摩托）配备一辆摩托车（油量充足），三人从甲地到乙地最少需要多少时间？

所得方程组为：
\[
\huge

\begin{cases}
\begin{split}
6\,t_1&+&\quad6\,t_2&+&50\,t_3&=&\,120\\
6\,t_1&+&61\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
50\,t_1&+&\quad5\,t_2&+&\quad5\,t_3&=&\,120\\
\end{split}
\end{cases}
\Longrightarrow
{\color{red}{
\begin{cases}
\begin{split}
t_1&=&\,\dfrac{378}{185}\\
t_2&=&\,\dfrac{297}{185}\\
t_3&=&\,\dfrac{363}{185}\\
\end{split}
\end{cases}}}
\]


贴一个相似的问题解答示意图的TikZ代码：

1. \documentclass{standalone}
   
2. \usepackage{tkz-graph}
   
3. \usetikzlibrary{calc}
   
4. \usetikzlibrary{decorations.markings}
   
5. 
   
6. \begin{document}
   
7. \begin{tikzpicture}[x=2.5cm,y=2.5cm]
   
8. \GraphInit[vstyle=Classic]
   
9. \begin{scope}[VertexStyle/.append style = {thick,fill=yellow,minimum size = 6pt,inner sep = 0pt}]
   
10. 
    
11. \Vertex[Lpos=180,L=$A$]{A}
    
12. \Vertex[x=1.225,y=0,Lpos=-90,L=$C$]{C}
    
13. \Vertex[x=2.1891,y=0,Lpos=-90,L=$D$]{D}
    
14. \Vertex[x=10.2162,y=0,Lpos=-90,L=$E$]{E}
    
15. \Vertex[x=11.0189,y=0,Lpos=-90,L=$F$]{F}
    
16. \Vertex[x=12,y=0,Lpos=0,L=$B$]{B}
    
17. 
    
18. \tikzset
    
19. {
    
20. EdgeStyle/.style={postaction=decorate,decoration={markings,mark=at position 0.5 with{\arrow{triangle 60}}}},
    
21. ALabel/.style={auto=right,fill=none,outer sep=0.2ex}
    
22. }
    
23. 
    
24. 
    
25. \Edge[label={$6\,t_1$},labelstyle={ALabel,above=0.5ex}](A)(C)
    
26. \Edge[style={bend right=30},label={$50\,t_1$},labelstyle={ALabel,below=1ex}](A)(E)
    
27. 
    
28. \Edge[color=red,label={$6\,t_2$},labelstyle={red,ALabel,above=0.5ex}](C)(D)
    
29. \Edge[color=red,style={bend left=-20},label={$50\,t_2$},labelstyle={red,ALabel,below=0.5ex}](E)(D)
    
30. \Edge[color=red,label={$5\,t_2$},labelstyle={red,ALabel,above=0.5ex}](E)(F)
    
31. 
    
32. \Edge[color=blue,style={bend right=-45},label={$50\,t_3$},labelstyle={blue,ALabel,above=0.5ex}](D)(B)
    
33. \Edge[color=blue,label={$5\,t_3$},labelstyle={blue,ALabel,above=0.5ex}](F)(B)
    
34. 
    
35. \end{scope}
    
36. \end{tikzpicture}
    
37. \end{document}

复制代码

版块内相关链接：行程问题

bolizhou 发表于 2009-7-30 19:19
原题地址：http://www.aoshoo.com/bbs1/dispbbs.asp?boardid=12&Id=16574
A、B两地相距43千米，甲、乙、丙、丁四人从A地出发到B地；甲、乙、丙三人步行的速度分别是每小时5千米、4千米、2千米。丁骑摩托车每小时20千米，摩托车后可以带一个人，那么四人从A地到B地最少用多少小时？