当n=？时，含9的项之和开始大于不含9的项之和

chyanog

n=1时 , 1/9<1/8+1/7+1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1
n=2 时，1/19 + 1/29 + 1/39 + ……+ 1/89 + 1/90 + 1/91 + …… + 1/98 + 1/99<1/10 +1/11+1/12 +…… + 1/88
n=3时，1/109 + 1/119 + 1/129 + …… + 1/889 + 1/890 + 1/891 + ……+ 1/999<1/100 + 1/101 + 1/102 + ……+ 1/888

问当n=？时，含9的项之和开始大于不含9的项之和。
说明：n表示分母的位数，每个不等式两边合起来的分母为n位数的所有自然数。

用Mathematica实现如下：
g[n_] := Length[Select[IntegerDigits[n], # == 9 &]]
arr[n_] :=
Select[Range[10^(n - 1), 10^n - 1], g[#] > 0 &]   (*g[#]!=0&*)
(*f[x_]:=Tr@(1.0/arr[x])-(HarmonicNumber[10^x-1.0]-HarmonicNumber[10^(\
x-1)-1.0]-Tr@(1.0/arr[x]))*)
f[x_] := Tr@(2.0/
   arr[x]) - (HarmonicNumber[10^x - 1.0] -
    HarmonicNumber[10^(x - 1) - 1.0])
n = Input[""];
If[f[n] > 0, Print["n=", n, "  ", ">"], Print["n=", n, "  ", "<"]]
但效率实在不高，当n>6时，就要运行很长时间，不知道怎么改进，希望大家指点一二。或者用C也行，但我现在还没什么好的思路。

gxqcn

$n$ 位正整数有 $9*10^(n-1)$ 个，
其中完全不含9的有 $8*9^(n-1)$ 个，
所占比例为 $\lambda=\frac{8*9^(n-1)}{9*10^(n-1)}=8/9*0.9^(n-1)$，
令 $\lambda<0.5$，解得 $n>=7$
估计符合要求的还要大一些（因为9是十进制中最大的数字，作为分母对和贡献很小）

无心人

要是那么多数字加在一起，不知道双精度的情况是否还能保证不出现影响结果的误差

chyanog

尽量还是不用浮点儿为好，但精确的太耗时间了

gxqcn

精确的，也即内部采用分数计算的，中间过程计算量非常大，因为要通分运算。
建议用浮点的即可，而后再精确验证之。

无心人

我认为永远不可能得到精确值

无心人

几千万个 超大整数加在一起，你们以为要多快？

无心人

32位精度的实数够了吧？

无心人

可以用mpfr高精度库做

gxqcn

我的意思是先用双精度类型确定出大致的n，
再用高精度类型验证n±1范围内哪个最合适。