调和级数的高精度快速计算

wayne

偶发现算出前1千万项的1000位精度，Mathematica只用了1秒钟。
这个有点不可思议，想问一下，其中用到了什么方法

2.30258515071561217417127751533557321584134459284470657002568778\
1544296098164125158002464298784304627516642735505430973614117773561133\
2082053205709915161814539752608336755880551375336685936274777879193300\
1845697860614924097993330761101339754789940578742455504175373966361950\
8317931526958234073803182537643866080677922335134404633469853516372998\
2494769226489766523643356251037952895378777460978164654867334401915600\
4499822227535058219384341617761555997205444135255885834767066057578119\
7577069917867557365829910071559894700589694927045249566523978591633596\
3367638860713041215919879178875923785078739182245437832028711188790870\
8676213778095409396195414691582052691201390486326176213321556746345210\
5442057674915192503909999749473747387995700386486092308301678699511516\
2508803536154563018682048945865118044557662165970198013366730345692549\
5817666455634304181616664108791199174130682897915292958897875518252874\
8770746987523800614071682786901528857435334209653562830369331677500171\
611236060344993445181217984*10^7

gxqcn

$\sum_{k=1}^{n}{1/k}~~ln(n)+\gamma$
其中 $\gamma=0.577215664901532860606512090082402431042159335...$ 为欧拉常数。
所以Mathematica实际上仅需高精度计算 $ln10=2.302585092994045684017991454684...$ 即可，1秒足矣。

wayne

这个是逼近公式，感觉对高精度计算的作用不大吧

莫非用到这个不等式？
$1/{2(n+1)}<H_n-ln n-\gamma<1/{2n}$

或者这个：

$1/{24(n+1)^2}<H_n-ln (n+1/{2})-\gamma<1/{24n^2}$

wayne

不对，绝对不是，
Mathematica可以计算出 任意的n的任意精度位

qianyb

2#的公式可以计算任意n的任意精度啊

gxqcn

不对，绝对不是，
Mathematica可以计算出 任意的n的任意精度位
wayne 发表于 2010-5-21 11:19

算法是可以出现分支的，
比如你要算前10个正整数的倒数和，要1000位精度的，用2#的公式可能不合适；
但要算前10^10项，可能就合适了；
也就是说可以智能切换最佳算法。

chyanog

Mathematica计算结果：
N[HarmonicNumber[10^6], 100]; // Timing
Out：11s
N[HarmonicNumber[10^10000000], 1000]; // Timing
Out：1s
有点儿疑惑。
另外，Mathematica的高精度计算结果一定可靠吗？

medie2005

ls的疑惑正好证实了gxqcn的猜测。

gxqcn

我没有去试验过，不过根据我自己编程的经验肯定会这么做，不想还真是这么做的。

qianyb

这所谓英雄所见