如何证明?

mathematica

假设0<x1<x2<x1+x2<1，f(x)=tan(x^3),
如何证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2) ? (注意:这个结论不一定成立,
我只是感觉上是成立的,如果结论不成立,改成0<x1<x2<x1+x2<0.4试一试看是否成立?)


另外一个问题:
如果0<x1<x2<x1+x2<0.4,f(0)=0,
f(x1)+f(x2)<f(x1+x2) 的函数有哪些?
举例子给我看看吧

wayne

你是要导函数在(0,1)内存在的函数吗，
如果是这样，我给你一个结论：

如果f(0)=0, f'(x)>f'(0)，那么你的结论成立

mathematica

楼上的高手，我没怎么看明白，我确实需要导函数存在的，不存在的我也研究不了呀

mathe

简单得很，要证明
$g(x)=f(x+x_1)-f(x)-f(x_1)$在$0<x<root{3}{pi/2}-x_1$时单调增就可以了
由于$g'(x)=f'(x+x_1)-f'(x)$,而$f'(x)=sec^2(x^3)*3x^2=3(x/{cos(x^3)})^2$
所以$f'(x)$在$0<x<root{3}{pi/2}$单调增，于是$g'(x)$大于0，可以得到题目中结果

mathe

这个同函数的次可加性很类似。也可以利用次可加性来证明。
函数$f(x)$如果满足$f(x+y)<=f(x)+f(y)$那么我们称这个函数是满足次可加性的。
如果一个凹函数f(x)满足f(0)=0,那么在$x>=0$，f(x)满足次可加性
而对于题目中的函数，其实它是凸函数（仅仅在区域$(0,root{3}{pi/2})$），所以-f(x)是凹函数而且-f(0)=0,所以-f(x)满足次可加性,于是f(x)满足$f(x_1)+f(x_2)<=f(x_1+x_2)$,只是这里的讨论没有去除等号，这个需要我们对次可加性函数取等号情况在讨论一下（比如加强命题，如果凹函数的二阶导数恒小于0时）

wayne

5# mathe
如果函数f(x)满足：
f(x)在实数域可导,f(0)=0,对于任意正实数x,y, 都有 f(x)+f(y)<=f(x+y)成立

那么，f'(x)>f'(0) 也应该成立吧

mathe

也就是对于y>0,${f(x+y)-f(x)}/y>={f(y)-f(0)}/y$，然后让$y->0$得到$f'(x)>=f'(0)$

wayne

呵呵，那就好。
那反过来呢：

如果f(0)=0,对于任意正实数x,有f'(x)>f'(0)。  
那么对于任意正实数x,y，是不是 f(x)+f(y)<f(x+y)也一定成立

mathe

这个应该不够，比如如下图的函数，但是如果$f'(x)$单调增就足够了