椭圆内接n边形周长最大值

chendu

回28楼： 星空老师：您好！ 我11楼的公式是关于三角形面积最大内切、最小外接椭圆的Steiner问题，我当时用复数导出来的，比较繁难，现在已经有好方法了，公式应该没有错；“椭圆最大周长的内接三角形”问题的反问题是关于周长最值的光反射三角形的，这两个问题是有深刻联系的，老外已经研究多年......

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若11#是关于三角形面积最大,而不是周长最小的最大内切、最小外接椭圆的Steiner问题结论,就没有问题了,这里只讨论了周长问题.

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对于$N=7$,我们可以得到: $a^24-4*b^2*a^17*(-4*b^2+3*a^2)*(-2*b^2+a^2)*m-2*a^16*(-3*a^4*b^2+10*a^2*b^4-8*b^6+3*a^6)*m^2+4*b^2*a^15*(15*a^4+32*b^4-45*a^2*b^2)*m^3+$$a^10*(a-b)*(a+b)*(64*b^8-32*a^2*b^6+80*a^4*b^4-15*a^6*b^2+15*a^8)*m^4-8*b^2*a^9*(a-b)*(a+b)*(4*b^6-2*a^2*b^4-25*a^4*b^2+15*a^6)*m^5-$ $4*a^8*(a-b)*(a+b)*(36*b^8-30*a^2*b^6+35*a^4*b^4-10*a^6*b^2+5*a^8)*m^6+8*b^2*a^7*(a-b)*(a+b)*(8*b^6-7*a^2*b^4-20*a^4*b^2+15*a^6)*m^7+$ $a^6*(a-b)*(a+b)*(112*b^8-143*a^2*b^6+125*a^4*b^4-45*a^6*b^2+15*a^8)*m^8-4*b^2*a^3*(15*a^4+15*a^2*b^2+2*b^4)*(a-b)^3*(a+b)^3*m^9-$ $2*a^2*(3*a^6-6*a^4*b^2+13*a^2*b^4-2*b^6)*(a-b)^3*(a+b)^3*m^10+4*a*b^2*(b^2+3*a^2)*(a^2+b^2)*(a-b)^3*(a+b)^3*m^11+(a-b)^6*(a+b)^6*m^12=0$ $b^24-4*b^17*a^2*(-b^2+2*a^2)*(-3*b^2+4*a^2)*n+2*b^16*(3*a^2*b^4-3*b^6-10*a^4*b^2+8*a^6)*n^2+4*b^15*a^2*(-45*a^2*b^2+32*a^4+15*b^4)*n^3-$ $b^10*(a-b)*(a+b)*(15*b^8-15*a^2*b^6+80*a^4*b^4-32*a^6*b^2+64*a^8)*n^4+8*a^2*b^9*(a-b)*(a+b)*(15*b^6-25*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a^6)*n^5+$ $4*b^8*(a-b)*(a+b)*(5*b^8-10*a^2*b^6+35*a^4*b^4-30*a^6*b^2+36*a^8)*n^6-8*a^2*b^7*(a-b)*(a+b)*(15*b^6-20*a^2*b^4-7*a^4*b^2+8*a^6)*n^7-$ $b^6*(a-b)*(a+b)*(15*b^8-45*a^2*b^6+125*a^4*b^4-143*a^6*b^2+112*a^8)*n^8+4*b^3*a^2*(2*a^4+15*a^2*b^2+15*b^4)*(a-b)^3*(a+b)^3*n^9-$ $2*b^2*(2*a^6-13*a^4*b^2+6*a^2*b^4-3*b^6)*(a-b)^3*(a+b)^3*n^10-4*a^2*b*(3*b^2+a^2)*(a^2+b^2)*(a-b)^3*(a+b)^3*n^11+(a-b)^6*(a+b)^6*n^12=0$

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根据http://bbs.emath.ac.cn/thread-4216-5-1.html 48#的结论：

对于椭圆$C_1$ : $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的内接凸n边形的最大周长$L(n)$问题：

设内接椭圆$C_1$的光反射n边形的外切椭圆$C_2$ : $x^2/m^2+y^2/n^2=1$

则：

$L(n)=L_0-n*(L_1-L_2)$

$L_0=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx$

$L_1=2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx$

$L_2=(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a$

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我们现在总结一下
对于$n=3$
$L(3)=2*sqrt(3)*(a^2+b^2+D)/sqrt(a^2+b^2+2*D),D=sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)$
$m=a*(d^2-b^2)/(a^2-b^2)$
$n=b*(a^2-d^2)/(a^2-b^2)$
$d^2=sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)$

$L(3)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-3*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$

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对于$n=4$
$L(4)=4*sqrt(a^2+b^2)$
$m=a^2/sqrt(a^2+b^2)$
$n=b^2/sqrt(a^2+b^2)$

$L(4)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-4*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$

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对于$n=5$
$(-a^6+3*a^4*b^2+b^6-3*a^2*b^4)*m^6+(4*a^3*b^4-6*a^5*b^2+2*b^6*a)*m^5+(7*a^4*b^4-4*b^6*a^2+3*a^8-6*a^6*b^2)*m^4+$
$(-12*a^5*b^4+12*b^2*a^7)*m^3+(-4*a^6*b^4-3*a^10+3*b^2*a^8)*m^2+(-6*b^2*a^9+8*a^7*b^4)*m+a^12=0$.........................................(1)

$(-a^6+3*a^4*b^2+b^6-3*a^2*b^4)*n^6+(6*b^5*a^2-2*b*a^6-4*b^3*a^4)*n^5+(-3*b^8+4*a^6*b^2-7*a^4*b^4+6*b^6*a^2)*n^4+$
$(-12*b^7*a^2+12*b^5*a^4)*n^3+(4*b^6*a^4-3*b^8*a^2+3*b^10)*n^2+(6*b^9*a^2-8*b^7*a^4)*n-b^12=0$.................................................(2)

$L(5)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-5*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$

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对于$n=6$

$m=a*sqrt(a^2+2*a*b)/(a+b)$

$n=b*sqrt(b^2+2*a*b)/(a+b)$

$L(6)=4*((a^2+a*b+b^2)/(a+b))$

$L(6)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-6*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$

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对于$n=7$

$a^24-4*b^2*a^17*(-4*b^2+3*a^2)*(-2*b^2+a^2)*m-2*a^16*(-3*a^4*b^2+10*a^2*b^4-8*b^6+3*a^6)*m^2+4*b^2*a^15*(15*a^4+32*b^4-45*a^2*b^2)*m^3+$$a^10*(a-b)*(a+b)*(64*b^8-32*a^2*b^6+80*a^4*b^4-15*a^6*b^2+15*a^8)*m^4-8*b^2*a^9*(a-b)*(a+b)*(4*b^6-2*a^2*b^4-25*a^4*b^2+15*a^6)*m^5-$
$4*a^8*(a-b)*(a+b)*(36*b^8-30*a^2*b^6+35*a^4*b^4-10*a^6*b^2+5*a^8)*m^6+8*b^2*a^7*(a-b)*(a+b)*(8*b^6-7*a^2*b^4-20*a^4*b^2+15*a^6)*m^7+$
$a^6*(a-b)*(a+b)*(112*b^8-143*a^2*b^6+125*a^4*b^4-45*a^6*b^2+15*a^8)*m^8-4*b^2*a^3*(15*a^4+15*a^2*b^2+2*b^4)*(a-b)^3*(a+b)^3*m^9-$
$2*a^2*(3*a^6-6*a^4*b^2+13*a^2*b^4-2*b^6)*(a-b)^3*(a+b)^3*m^10+4*a*b^2*(b^2+3*a^2)*(a^2+b^2)*(a-b)^3*(a+b)^3*m^11+(a-b)^6*(a+b)^6*m^12=0$

$b^24-4*b^17*a^2*(-b^2+2*a^2)*(-3*b^2+4*a^2)*n+2*b^16*(3*a^2*b^4-3*b^6-10*a^4*b^2+8*a^6)*n^2+4*b^15*a^2*(-45*a^2*b^2+32*a^4+15*b^4)*n^3-$
$b^10*(a-b)*(a+b)*(15*b^8-15*a^2*b^6+80*a^4*b^4-32*a^6*b^2+64*a^8)*n^4+8*a^2*b^9*(a-b)*(a+b)*(15*b^6-25*a^2*b^4-2*a^4*b^2+4*a^6)*n^5+$
$4*b^8*(a-b)*(a+b)*(5*b^8-10*a^2*b^6+35*a^4*b^4-30*a^6*b^2+36*a^8)*n^6-8*a^2*b^7*(a-b)*(a+b)*(15*b^6-20*a^2*b^4-7*a^4*b^2+8*a^6)*n^7-$
$b^6*(a-b)*(a+b)*(15*b^8-45*a^2*b^6+125*a^4*b^4-143*a^6*b^2+112*a^8)*n^8+4*b^3*a^2*(2*a^4+15*a^2*b^2+15*b^4)*(a-b)^3*(a+b)^3*n^9-$
$2*b^2*(2*a^6-13*a^4*b^2+6*a^2*b^4-3*b^6)*(a-b)^3*(a+b)^3*n^10-4*a^2*b*(3*b^2+a^2)*(a^2+b^2)*(a-b)^3*(a+b)^3*n^11+(a-b)^6*(a+b)^6*n^12=0$

$L(7)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-7*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$